3. Проблема уменьшения дисперсий оценок характеристик процесса функционирования моделируемых систем

Располагая набором преобразований случайной величины, сохраняющих её математическое ожидание, но изменяющих дисперсию, можно строить модификации метода Монте-Карло более эффективные, чем исходная. Рассмотрим такие преобразования применительно к задаче вычисления интеграла.

1. Метод выделения главной части

Пусть требуется вычислить интеграл и имеется достаточно близкая к f(x) функция g(x) такая, что интеграл Может быть вычислен аналитически или с помощью простой квадратурной формулы. Тогда и достаточно оценить интеграл методом Монте-Карло с помощью суммы , где x_i независимы и распределены по закону .

Если обозначить то

- оценивается аналитически или по выборке умеренного объёма.

2. Метод существенной выборки

Пусть интеграл оценивается с помощью суммы , где x_i – независимые случайные величины с распределением вероятностей . В этом случае . Пусть – произвольная вероятностная мера такая, что - абсолютно непрерывна по отношению к ней. Тогда и может быть использована оценка , где y_i распределены по закону .

Дисперсия . Таким образом, получено семейство несмещённых оценок для интеграла J₁, зависящих от меры .

Если f(x) неотрицательная функция то можно выбрать такую, что имеет минимальную дисперсию.

В настоящее время существуют методы, позволяющие при заданном числе реализаций увеличить точность оценок. Эти методы, как правило, используют априорную информацию о структуре и поведении системы. Часть из них основана на специальном построении моделирующего алгоритма, позволяющего получить положительную корреляцию за счет управления генерацией случайных величин.

Пусть, например, производится сравнение двух вариантов некоторой системы по средним значениям некоторых критериев - оценка критерия варианта 1; - оценка критерия варианта 2, имеющих дисперсии ,

и коэффициент корреляции . Дисперсию погрешности оценки можно найти из соотношения

,

где , .

Из этой формулы видно, что если R=0 , то мы имеем независимые испытания и

, для зависимых испытаний R>0 и .

Положительные значения коэффициента корреляции можно получить, когда в имитационных экспериментах используются одни и те же псевдослучайные последовательности. Такой подход однако может существенно исказить физическую интерпретацию изучаемого явления. В общем случае приемы понижения дисперсии оценок подбираются индивидуально для каждой задачи.

4. Проблема выбора правил автоматической остановки

Обычно задают требуемое количество реализаций или длины интервала моделирования. Другой способ задание доверительных интервалов оцениваемых величин и остановка прогона машинной модели по достижению этих интервалов. Наиболее эффективным способом в настоящее время является способ последовательного анализа. В последовательном анализе объем выборки не фиксируется, а после каждого i-го наблюдения принимается одно из следующих решений:

1. Принять данную гипотезу

2. Отвергнуть гипотезу

3. Продолжить испытания

Благодаря такому подходу объем выборки может быть уменьшен.

Пусть распределение генеральной совокупности характеризуется функцией плотности вероятности . Задача состоит в оценке неизвестного параметра . Определим нулевую и альтернативную гипотезы

.

Гипотезы проверяют на основании выборки нарастающего объёма m. Вероятность при условии, что - верна

Вероятность при условии, что - верна

.

Процедура проверки строится на отношении правдоподобия:

,

где ; ; - ошибка первого рода – гипотеза верна, но отвергается; - ошибка второго рода – гипотеза неверна, но принимается.