397. Определение коэффициента по методу Эйлера-Фурье.
Для
того чтобы установить возможность
тригонометрического разложения (5) для
заданной функции
,имеющей период
,
нужно исходить из определённого набора
коэффициентов
Мы укажем приём для определения их,
который во второй половине XVII
века был применён Эйлером и независимо
от него в начале XIX
века-Фурье.
Будем
впредь предполагать функцию f(x)
непрерывной или кусочно-непрерывной,
в промежутке
**).
Допустим,
что разложение (5) имеет место, и
проинтегрируем его почленно от
до
;
мы получим
На, как легко видеть,
и
(6)
Поэтому все члены под знаком суммы будут нулями, и окончательно найдём
(7)
Для
того чтобы установить величину
коэффициента
,
умножим обе части равенства (5), которое
мы всё время предполагаем выполненным,
на
и
снова проинтегрируем почленно в том же
промежутке:
Первый член справа исчезает ввиду (6). Далее имеем
(8)
(9)
если
,
и, наконец,
(10)
Таким
образом, обращаются в нуль все интегралы
под знаком суммы, кроме интеграла, при
котором множителем стоит именно
коэффициент
Отсюда этот коэффициент и определяется:
(m=1,
2, 3…
). (11)
Аналогично,
умножая предварительно разложение (5)
на
и затем интегрируя почленно, определим
коэффициент при синусе:
(m=1,
2, 3…
). (12)
При этом кроме (6) и (8), мы опираемся ещё и на легко проверяемые соотношения
,
(13)
если , и
.
(14)
Формулы (6),(11) и (12) известны под именем формул Эйлера - Фурье; вычисленные по этим формулам коэффициенты называются коэффициентами Фурье данной функции, а составленный с их помощью тригонометрический ряд(5)- её рядом Фурье. Рядами Фурье мы исключительно и будем заниматься в настоящей главе.
Дадим
теперь себе отчёт в том, какова логическая
ценность проведённых рассуждений. Так
как мы исходили из предположения, что
тригонометрическое разложение (5)имеет
место, то вопрос о том, отвечает ли это
действительности, естественно, остаётся
открытым. Но убедительны ли те соображения,
с помощью которых по примеру Эйлера и
Фурье мы определили коэффициенты
разложения (5), даже в предположении, что
оно осуществляется? Мы пользовались
повторно почленным интегрированием
рядя, а эта операция не всегда дозволительна
.
Достаточным условием её применения
является равномерная сходимость ряда.
Поэтому строго установленным можно
считать лишь следующее:
если функция f(x) разлагается в равномерно сходящийся тригонометрический ряд (5) *), то последний необходимо будет её рядом Фурье.
Если же не предполагать наперёд равномерности сходимости, то наши соображения не доказывают даже и того, что функция может разлагаться только в ряд Фурье. Каков же смысл приведённых соображений? Их можно рассматривать лишь как наведение, достаточное для того, чтобы в поисках тригонометрического разложения данной функции начать её с ряда Фурье, обязуясь (уже со всею строгостью!) установить условия, при которых он сходится и притом – именно к данной функции.
Пока же это не сделано, мы имеем право, лишь формально, рассматривать ряд Фурье данной функции f(x), но не можем о нём ничего утверждать, кроме того, что он «порождён» функцией f(x). Эту его связь с функцией обычно обозначают так:
~
,
(5a)
избегая знака равенства.