48. Суть метода Гаусса.
Метод Гаусса.
Определение метода Гаусса
Пусть дана система
, ∆≠0.
Метод Гаусса
– это метод последовательного исключения неизвестных
Суть метода Гаусса состоит в преобразовании (1) к системе с треугольной матрицей, из которой затем последовательно (обратным ходом) получаются значения всех неизвестных. Рассмотрим одну из вычислительных схем. Эта схема называется схемой единственного деления. Итак, рассмотрим эту схему. Пусть a11≠0 (ведущий элемент) разделим на a11 первое уравнение. Получим:
(2);
Пользуясь уравнением (2), легко исключить неизвестные x1 из остальных уравнений системы (для этого достаточно из каждого уравнения вычесть уравнение (2) предварительно умноженное на соответствующий коэффициент при x1), то есть на первом шаге получим:
Иными словами, на 1 шаге каждый элемент последующих строк, начиная со второй, равен разности между исходным элементом и произведением его «проекции» на первый столбец и первую (преобразованную) строку.
Вслед за этим оставив первое уравнение в покое, над остальными уравнениями системы, полученной на первом шаге, совершим аналогичное преобразование: выберем из их числа уравнение с ведущим элементом и исключим с его помощью из остальных уравнений x2 (шаг 2).
После n шагов вместо (1) получим равносильную систему:
Вычисления по методу Гаусса выполняются в два этапа:
Первый этап называется прямым ходом метода. На первом этапе исходную систему преобразуют к треугольному виду.
Второй этап называется обратным ходом. На втором этапе решают треугольную систему, эквивалентную исходной.
Коэффициенты а11, а22, …, называют ведущими элементами.
На каждом шаге предполагалось, что ведущий элемент отличен от нуля. Если это не так, то в качестве ведущего можно использовать любой другой элемент, как бы переставив уравнения системы.
49. Запишите общий вид системы нелинейных уравнений. Назовите методы решения таких систем? По какому параметру определяется наиболее эффективный из них.
f1(x;y)=C1
f2(x;y)=C2 – система
Численное решение нелинейных (алгебраических или трансцендентных) уравнений вида
f(x)=0 (2.1)
заключается в нахождении значений x, удовлетворяющих (с заданной точностью) данному уравнению и состоит из следующих основных этапов:
Отделение (изоляция, локализация) корней уравнения.
Уточнение с помощью некоторого вычислительного алгоритма конкретного выделенного корня с заданной точностью.
Методы решении таких систем:
1)Метод половинного деления.
2)Метод Ньютона (метод касательных).
3)Метод секущих.
4) Метод простой итерации.
5) Метод хорд
50. Метод простых итераций.
Суть метода простых итераций в принципе совпадает с методом, изложенным для решения систем линейных алгебраических уравнений. Для нелинейного уравнения метод основан на переходе от уравнения
f(x) = 0 (2)
К эквивалентному уравнению x = φ(x). Этот переход можно осуществить разными способами, в зависимости от вида f(x). Например, можно положить
φ(x) = x + bf(x), (3)
где b = const, при этом корни исходного уравнения (2) не изменятся.
Если известно начальное приближение к корню x0, то новое приближение x1 = φx(0), т.е. общая схема итерационного процесса:
xk+1 = φ(xk). (4)
Наиболее простой критерий окончания процесса .
Критерий сходимости
метода простых итераций: если вблизи
корня |φ /(x)| < 1, то итерации сходятся.
Если указанное условие справедливо
для любого x, то итерации сходятся при
любом начальном приближении. Исследуем
выбор константы b в функции (3) с точки
зрения обеспечения максимальной
скорости сходимости. В соответствии с
критерием сходимости наибольшая
скорость сходимости обеспечивается
при |φ /(x)| = 0. При этом, исходя из (3), b =
–1/f /(x), и итерационная формула (4)
переходит в
,
т.е. в формулу метода Ньютона (1). Таким
образом, метод Ньютона является частным
случаем метода простых итераций,
обеспечивающим самую высокую скорость
сходимости из всех возможных вариантов
выбора функции φ(x).