6.2. Построение двухмерных сечений поверхности отклика

Построение двухмерных сечений поверхности отклика состоит из нескольких этапов.

1. Определение координат нового центра.

1.1. Определение координат нового центра в старых осях координат (x_is, x_js) получают дифференцированием уравнения регрессии по каждой независимой переменной и приравниванием частных производных к нулю:

(6.2)

Вычисляют определитель системы:

. (6.3)

Решая систему уравнений (6.2), определяют координаты нового центра S в старых осях координат x_is и x_js.

1.2. Определение значения параметра оптимизации (y_s) в новом центре выполняется подстановкой значения x_is и x_js в уравнение регрессии.

Не меняя направления осей координат, переносят начало координат в точку , используя соотношения

и (6.4)

Получают уравнение кривой в новой системе координат ( )

. (6.5)

2. Определение угла поворота осей координат в новом центре.

Для исключения парного взаимодействия факторов определяют угол поворота осей координат в точке по формуле

(6.6)

где – угол поворота осей координат (знак «+» – поворот осей координат от оси вверх, знак «–» – вниз).

3. Определение коэффициентов уравнения регрессии в канонической форме.

Коэффициенты уравнения регрессии в канонической форме рассчитывают с помощью следующих уравнений:

(6.7)

В результате канонического преобразования получают стандартное уравнение вида:

(6.8)

Правильность расчетов при каноническом преобразовании оценивают сравнением суммы коэффициентов при квадратичных членах в уравнении регрессии и в каноническом уравнении:

(6.9)

4. Определение вида поверхности отклика.

По уравнению (6.8) определяют, к какому типу относится геометрический образ изучаемой функции отклика.

5. Построение сечений поверхности отклика.

Уравнение (6.8) приводят к каноническому уравнению линии равного значения отклика соответствующей стандартной поверхности. Подставляя в уравнение (6.8) различные значения параметра оптимизации, задаваемые в пределах области эксперимента через равные промежутки, получают уравнения, по которым строят контурные кривые.

6.3. Пример построения двухмерного сечения в виде эллипса

При исследовании процесса получения сварных соединений (таблица 6.2) найдено уравнение регрессии второго порядка для , являющееся адекватной математической моделью:

(6.10)

Так как трудно представить геометрический образ для всех трех факторов, исследование проводится с помощью двух факторов, например, и . Фиксирование значения третьего фактора осуществляется на нулевом уровне, т.е. .

Подставив в уравнение (6.10) значение , получают следующее уравнение:

(6.11)

Таблица 6.2 - Интервалы и уровни варьирования факторов для сварки материалов

Фактор	Обозначе-ние фактора	Уровень варьирования			Интервал варьиро-вания
		нижний -1	нулевой 0	верхний +1
Давление на свариваемый материал, Па трикотажное полотно арт. 271304
искусственная кожа арт. 023
Время сварки, с:
трикотажное полотно арт. 271304		0,5	3,5	6,5	3,0
искусственная кожа арт. 023		3,0	5,0	7,0	2,0
Сила анодного тока, А		0,55	0,75	0,95	0,2

Определяют координаты нового центра. Для этого уравнение дифференцируют это по и и приравнивают частные производные нулю:

(6.12)

Вычисляют определитель системы:

Определитель не равен нулю, следовательно, исследуемая поверхность имеет центр.

Решают систему уравнений (6.12) методом подстановки, вычисляют координаты нового центра в старых осях координат: , .

Подставляя в уравнение (6.11) вместо и координаты центра и , получают значение параметра оптимизации в центре поверхности отклика:

Переносим начало системы координат в центр фигуры. При параллельном переносе системы координат в центр фигуры в исходном уравнении исчезают члены, содержащие линейные эффекты, и изменяется свободный член. Коэффициенты других членов не изменяются. В новой системе координат свободный член уравнения равен значению параметра оптимизации в центре фигуры.

После переноса начала координат в новый центр уравнение примет вид:

(6.13)

Для исключения парного взаимодействия факторов определяют угол поворота осей координат в точке:

Далее определяют коэффициенты регрессии в канонической форме:

В результате получается уравнение в канонической форме

(6.14)

Практика подтверждает точность расчетов (6.9):

Проводятся старые оси координат и . Граничные значения факторов соответствуют области их определения (в натуральных величинах). В этом примере фактор – время сварки варьируется от 0,5 до 6,5, фактор – сила анодного тока – от 0,55 до 0,95 А (Таблица 6.3). Для нахождения нового центра в старых осях координат используют координаты и . Переход от кодированных значений факторов к натуральным осуществляется по уравнению:

(6.15)

где – натуральное значение -го фактора; – натуральное значение основного уравнения -го фактора; – интервал варьирования -го фактора.

Координаты нового центра в старых осях координат в точке S(4,58; 0,81). Производится поворот осей координат в точке 0 на величину угла , а затем параллельный перенос осей координат в новый центр (точку ).

Построение линий равного значения отклика осуществляется в новой системе координат . Значения параметра оптимизации выбираются через равные промежутки с учетом величин параметра оптимизации в области эксперимента.

При уравнение (6.14) принимает вид:

.

Преобразуем это уравнение в стандартную форму:

или .

Оба коэффициента уравнения положительны, центр фигуры является максимумом, а вытянут эллипс вдоль оси (величина этого коэффициента минимальна).

Эллипс пересекается осью в двух точках А( ), а с осью – В( ). От точки по оси откладывают вправо и влево величину ; затем по оси величину в кодированных величинах (таблица ). Полученные точки соединяют плавной кривой. Для более точного построения можно найти еще несколько промежуточных точек, например, задаемся значением и получаем точку С и т.д. Аналогично строят другие контурные линии. Основой для построения служат данные табл. 6.3, получаемые подстановкой различных значений параметра оптимизации в уравнение (6.14).

Кривые с равными значениями параметра оптимизации – эллипса приведены на рис.6.1.

Таблица 6.3 – Данные для построения контурных кривых поверхности отклика

		Каноническое уравнение поверхности отклика	Величины полуосей
			а	в
245	-0,5		0,36	0,52
244	-1,5		0,62	0,91
243	-2,5		0,8	1,18
242	-3,5		0,94	1,39
241	-4,5		1,07	1,58
240	-5,5		1,18	1,75

Рисунок6.1 – Контуры кривых с равными значениями

параметра оптимизации – эллипса