28 Сызықты дифференциалдық жүйе үшін Остроградский-Лиувилль ф.

ретті сызықты теңдеудің қалыпты түрі: Бұны Остроградский-Лиувилль формуласына келтірсек. Құрылған теңдеудің бірінші коэффициенті былай анықталады:

(1) Анықтауыштың туындысын табу ережесін еске алсақ, (1) қатынастың алымы бөлімінің туындысы болып шығады, яғни Осы қатынасты интегралдасақ, теңдігін аламыз. Осыдан н\е (2) Осы қатынасты Остроградский-Лиувилль формуласы деп атайды. Лиувилль формуласын пайдаланып бір шешімі белгілі екінші ретті біртекті сызықты теңдеудің жалпы шешімін құруға болады. Егер теңдеуінің шешімі белгілі болса, онда Остроградский-Лиувилль форм-ы былай жазылады: н\е

Соңғы теңдікті функциясына көбейтіп интегралдасақ, онда

теңдігінен теңдігін аламыз. Осыда (3) Мұндағы, функциясы теңдеудің екінші дербес шешімін береді. Оған – теңдеуге қойып көз жеткізуге болады және бұл және шешімдер өзара тәуелсіз. Сондықтан, (3) қатынас жалпы шешім болады.

29. Сызықты дифференциалдық жүйе үшін тұрақтыларды вариациялайтын Лагранж әдісі

30. Ляпунов бойынша орнықтылық ұғымы.

Автономды теңдеулердің қалыпты жүйесін қарастырайық: (1)

Мұндағы векторы кейбір облысында анықталған

және үздіксіз дифференциалданатын функция деп есептелінеді.

Айталық, -нүктесі (1) жүйенің теңбе-теңдік қалпы болсын: (2)

ал функциясы жүйенің бастапқы (3)

шартын қанағаттандыратыг шешім болсын.

Анықтама-1. Жүйенің теңбе-теңдік қалпы Ляпунов

бойынша орнықты деп аталынады, егер:

1. кез келген саны үшін теңсіздігін

қанағаттандыратын шешім -ның барлық оң мәндерінде анықталса,

2. кез келген саны үшін саны табылып,

теңсіздігінен теңсіздігі шықса.

Анықтама-2. Теңбе-теңдік қалып асимптотикалы орнықты деп аталынады, егер ол Ляпунов бойынша орнықты болса және қосымша

шарты орындалса.

Анықтама-3. Теңбе-теңдік қалып Ляпунов бойынша орнықсыз деп аталынады, егер қаншалықты кіші саны табылмасын, теңсіздігінен теңсіздігі шықпаса.

31. Асимптотикалық орнықтылық. Бірінші жуықтау бойынша Ляпунов теоремасы

Теңбе-теңдік қалпы үшін координат жүйесінің бас нүктесін алуға болады, яғни деп алуға болады (ол үшін параллельдік көшіру жасасақ, жеткілікті). Бұл жағдайда орнықтылықты қысқаша анықтауға болады: теңбе-теңдік қалпы Ляпунов бойынша орнықты деп аталынады, егер кез келген саны үшін кейбір саны табылып, мынандай теңсіздіктер орындалса: (1) Ал асимптотикалық орнықты болу үшін қосымша (2) шарты орындалуы керек.

Негізгі теоремалар: Теңдеудің белгілі бір шешімінің орнықтылығын зерттеу оның жалпы, не дара шешімдері белгілі болса, қиындық тудырмайды. Ал шешім айқын түрде табыла бермейді. Ляпунов өз зерттеулерінде кейбір шарттарды қанағаттандыратын арнаулы функциялар енгізу арқылы теңдеуді шешпей-ақ, оның нөлдік шешімінің орнықтылығын анықтауға болатынын көрсетті. Бұл әдісті Ляпуновтың екінші әдісі деп атайды. Енді осы әдістен шығатын кейбір тұжырымдарды келтірейік. А-1. Үздіксіз дифференциалданатын функциясы нүктесінің кейбір аймағында анықталған оң таңбалы деп аталынады, егер Ал егер болса, онда функциясы анықталған теріс таңбалы деп аталынады. А-2. функциясы аймағында тұрақты таңбалы деп аталады, егер ол осы аймақта тек бір ғана таңбалы мән қабылдаса, ал нөлге координат жүйесінің бас нүктесінен басқа нүктелерде де айналып жатса. А-3. Анықталған оң таңбалы функциясы Ляпунов функциясы деп аталынады, егер оның берілген жүйе, не теңдеу бойынша алынған туындысы теріс таңбалы болса. Бұл анықтаманы теріс таңба арқылы беруге де болады: анықталған теріс таңбалы функциясы Ляпунов функциясы деп аталады, егер оның берілген жүйе, не теңдеу бойынша алынған туындысы оң таңбалы болса. Жалпы, функциясы Ляпунов функциясы болу үшін оның жүйе бойынша алынған туындысының таңбасы кері болуы немесе нөлге тең болуы шарт.

Теорема-1 (Ляпуновтың орнықтылық туралы теоремасы). Егер жүйенің теңбе-теңдік қалпы нүктесінің кейбір аймағында Ляпунов функциясы бар болса, онда теңбе-теңдік қалып Ляпунов мағынасында орнықты болады. Дәлелдеуі. функциясы анықталған оң таңбалы болсын. нүктесінің аймағында шарын қарастырайық. -сол шардың сферасы (шекарасы) болсын, . - шектелген тұйық жиын болғандықтан, ал - үздіксіз функция болғандықтан, әрі деп алынғандықтан,

Енді шарын алайық. болғандықтан, санын соншалықты кіші етіп алуға болады және сол үшін . Енді егер деп алсақ, онда болатынын көрсетейік . аймағында болғандықтан, яғни монотонды өспейтін функция болғандықтан, және кез келген аралығында шешімінің бойында теңсіздігі орындалады. Сондықтан, шарының ішінен басталатын траектория шарынан шығып кете алмайды, өйткені болғанда , ал траектория бойында . Осыдан болатынын көреміз, яғни нөлдік шешім орнықты.

Теорема-2 (Ляпуновтың асимптотикалық орнықтылық туралы теоремасы). Егер жүйенің теңбе-теңдік нөлдік қалпының кейбір аймағында анықталған оң таңбалы функциясы бар болса, ал оның жүйе бойынша алынған толық туындысы анықталған теріс таңбалы болса, онда теңбе-теңдік қалып асимптотикалық орнықты болады.

32. Шекаралық есеп ұғымы

33. Грин функциясы

34. Қалыпты түрдегі дифференциалдық теңдеулер жүйесі

35. Векторлық жазу. Коши есебі. Коши есебінің шешімінің табылуы және жалғыздығы туралы теорема (дәлелдеусіз).

36. Симметриялы дифференциалдық теңдеулер жүйесі.

37. Интеграл ұғымы. Интегралдардың толық системасы

38. Бірінші ретті біртекті дербес туындылы сызықты дифференциалдық теңдеу.

39. Коши есебі. Бірінші ретті квазисызықты дербес туындылы дифференциалдық теңдеу

Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер. 2

Асимптотикалық орнықтылық. Бірінші жуықтау бойынша Ляпунов теоремасы 31

Бернулли теңдеуі. 6

Біртекті дифференциалдық теңдеулер және оларға келтірілетін теңдеулер. 3

Біртекті дифференциалдық теңдеулер. 16

Біртекті теңдеудің жалпы шешімінің құрылымы. 19

Бірінші ретті біртекті дербес туындылы сызықты дифференциалдық теңдеу. 38

Бірінші ретті сызықтық теңдеу үшін еркін тұрақтыны варияциалау әдісі. 5

Бірінші ретті сызықтық теңдеулер. 4

Векторлық жазу. Коши есебі. Коши еснің ш-нің таб-ы және жалғ тур теорема 35

Вронскиан. 18

Вронский анықтауышы. 25

Грин функциясы. Әртекті теңдеудің шешімінің интегралдық түрі 33

Дифференциалдық теңдеулердің негізгі ұғымдары. Туынды бойынша шешілген бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер. Геометриялық сипаттамасы. Коши есебі. 1

Жалпы шешім. 26

Жоғары ретті сызықты дифференциалдық теңдеулердің жалпы теориясы. 15

Интеграл ұғымы. Интегралдардың толық системасы 37

Интегралдаушы көбейткіш. 8

Клеро теңдеуі 12

Коши есебі. Бірінші ретті квазисызықты дербес туындылы диф-дық теңдеу 39

Қалыпты түрдегі дифференциалдық теңдеулер жүйесі. 34

Ляпунов бойынша орнықтылық ұғымы. 30

Оң жағы квазикөпмүшелік болатын коэф-рі тұрақты сызықты дифф-дық теңдеулер 22

Параметр енгізу әдісі. Лагранж теңдеуі. 11

Реті төмендетілетін жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер. 13

Симметриялы дифференциалдық теңдеулер жүйесі. 36

Сызықты дифф-дық жүйе үшін Остроградский-Лиувилль формуласы. 28

Сызықты дифф-дық жүйе үшін тұрақтыларды вариациялайтын Лагранж әдісі 29

Сызықты дифф-дық теңдеулер үшін Остроградский-Лиувилль формуласы. 20

Сызықты дифф-дық теңдеулердің жүйесі. 23

Сызықты жүйенің шешімдерінің құрылымы. 27

Теңдеулер үшін тұрақтыларды вариациялайтын Лагранж әдісі. 21

Толық дифференциалды теңдеу. Қажетті және жеткілікті шарт. 7

Толық емес теңдеулер. 14

Туынды б/ша шеш I-ретті диф-қ теңд үшін Коши ес-ң ш-і бар бол ж/е жалғ тур теор 9

Туындысы бойынша шешілмеген дифференциалдық теңдеулер. 10

Фундаменталдық шешімдер системасы және оның табылуы. 17

Шекаралық есеп ұғымы. 32

Іргелі матрица. 24

Есепті шешіңіз: t²x' –cos2x = 1 1. 

Клеро теңдеуін шығарыңыз: y = xy' + y'² 21.

Коши есебін шешіңіз: x'=y+x,  y'=4y-2x, x(0)=0, y(0)=-1. 30.

Лагранж теңдеуін шығарыңыз: y=-2 y'³+x y'² 22.

Параметр енгізіп шығарыңыз: x= y'

Параметр енгізіп шығарыңыз: y=ln(1+ y'²) 19

Параметр енгізіп шығарыңыз: y=- x² y'³+x y' 20

Теңдеуді шешіңіз.  x'ctgt+x=22.

Теңдеуді шешіңіз: (2x+3y-5)dx-(x+4y)dy=0 11.

Теңдеуді шешіңіз: (t+2x+1)dt-(2t-3)dx=04

Теңдеуді шешіңіз: (xy + e^x)dx - x dy = 0. 14.

Теңдеуді шешіңіз: (x-y)dx+(x+y)dy=0. 9.

Теңдеуді шешіңіз: (y+2)dx-(2x+3y-5)dy=0 12.

Теңдеуді шешіңіз: 0=tdt+xdx+ (tdx-xdt)t² 3.

Теңдеуді шешіңіз: 2x(x² + y)dx = dy. 15.

Теңдеуді шешіңіз: 2xy' y''+1= y'² 28.

Теңдеуді шешіңіз: -2xy+y²)dx+ x²dy=0. 10.

Теңдеуді шешіңіз: t²xx'' +x'² = 0. 7.

Теңдеуді шешіңіз: tx - x' = xln x' 5.

Теңдеуді шешіңіз: x y² +(-1+x²) y'=0, y(0)=1. 8.

Теңдеуді шешіңіз: xx'' +1= x'². 6.

Теңдеуді шешіңіз: y'' - 2y' -3 y =  e^4x 23.

Теңдеуді шешіңіз: y'' + y = 4 xe^x 25.

Теңдеуді шешіңіз: y'' +y' -2 y = 3 xe^x 24.

Теңдеуді шешіңіз: y''+1= y'² 29.

Теңдеуді шешіңіз:.(2x + 1)y' = 4x + 2y. 13

Толық дифф-дық теңдеуме тексеріп, шығарыңыз: (2 - 9xy²)x dx + (4y² - 6x³)y dy = 0. 16.

Толық дифф-дық теңдеуме, тексеріп шығарыңыз :(y/x)dx + (y³ + ln x)dy = 0. 17.

Эйлер теңдеуін шешіңіз: x²y'' - 4xy' + 6y = 0 27.

Эйлер теңдеуін шешіңіз: x²y'' - xy' - 3y = 0 26.