Глава 2. Поля. Поле рациональных чисел
Поле – это множество, на котором заданы две алгебраические операции: + и × (сложение и умножение), со следующими свойствами:
Коммутативность сложения
a + b = b + a
Ассоциативность сложения
a + (b + c) = (a + b) + c
Ассоциативность умножения
a (bc) = (ab) c
Существование нейтрального элемента относительно сложения. Нейтральный элемент 0
a + 0 = 0 + a = a
Существование противоположного элемента
a + b = b + a = 0
Дистрибутивность
a (b + c) = ab + ac
Коммутативность умножения
ab = ba
Наличие единицы (нейтральный элемент относительно умножения)
a × 1 = 1 × a = a
Существование обратного элемента. Обратный элемент a-1
ab = ba = 1
Рассмотрим уравнение bx = a, корень которого x = . Решение этого уравнения будет являться целым числом и не выводить за пределы кольца только в том случае, если b есть делитель a. Но если это не так (например, при a = 2, b = 3), то мы вводим новый символ . Таким образом, чтобы операция деления обладала неограниченной выполнимостью, то есть уравнение bx = a могло быть решено при любых коэффициентах a, b Є , за исключением случая, когда b = 0, необходимо построение из кольца целых чисел его поля частных.
Для элементов кольца имеют место следующие правила:
(b ≠ 0, d
≠ 0)
Так как кольцо коммутативно, его можно погрузить в новое поле. Мы видим, что частные являются составляющими элементами этого поля, которое называется полем частных кольца . Строение полученного поля полностью определяется строением кольца , или: поля частных изоморфных колец изоморфны.
В результате этого построения получим числовую область рациональных чисел . Она будет называться полем, так как является множеством чисел, замкнутых относительно операций сложения, умножения, вычитания и деления. Таким образом, поле образовалось за счет добавления к кольцу целых чисел корней уравнения bx = a.
Все основные законы и правила арифметики, которые существовали в кольце целых чисел , сохраняются и в поле . Главное отличие поля от кольца заключается в том, что поле замкнуто относительно деления, а кольцо – нет.
Расширение области посредством введения новых символов, совершаемое таким образом, что законы, которые имели место в первоначальной области, сохраняются и в расширенной, является типичным примером характерного для математики принципа обобщения.
Переход путем обобщения от целых чисел к рациональным имеет большое значение. Он одновременно удовлетворяет теоретической потребности в снятии ограничений, наложенных на деление, и вместе с тем – практической потребности в числах, пригодных для фиксации результатов измерений.
Глава 3. Построение нового кольца из поля
Мы можем рассмотреть некоторое кольцо. С помощью присоединения нового, не принадлежащего к данному кольцу, абстрактного элемента x можно построить многочлены, в которых символ x будет называться переменной. Например, в случае умножения многочлен f(x) = ∑avxv, где v ≥ 0, и «коэффициенты» av принадлежат исходному кольцу, а в случае сложения многочлен f(x) = a0x0 + a1x1+a2x2. Эти многочлены образуют новое кольцо.
Точно также можно из поля вначале построить кольцо многочленов, а затем перейти к его полю частных.
Рассмотрим уравнение x² – 2 = 0. Такое уравнение решить, не выходя за пределы поля рациональных чисел , нельзя. Чтобы оно имело корни, строим новую конструкцию посредством добавления к полю корня этого уравнения. Условно обозначим его, как . Это уравнение второй степени, то есть степени, большей первой, элементы, которые мы добавляем, являются не абстрактными, а алгебраическими, поэтому можно обойтись без поля частных.
После введения новых символов мы получили новое кольцо [ ], которое состоит из элементов вида a0 + a1 + a2( )2 + ..., то есть a + b , где a, b Є .
В результате нашего построения появилось новое кольцо [ ], которое позволяет нам решать уравнение x² – 2 = 0 и не приводит к выходу за пределы числовой области.
Необходимо отметить, что это множество точно замкнуто относительно операций сложения, умножения и вычитания. Чтобы определить выводит ли за пределы кольца [ ] операция деления, рассмотрим ее более подробно.