Решение:
Т
B
и
,
то можно сделать вывод, что биссектрисы
проведены из двух других вершин
треугольника.
C
N
M
A
Согласно свойствам биссектрисы: прямые, на которых лежат две стороны треугольника, симметричны относительно биссектрисы угла, который эти прямые образуют.
Таким образом, нам необходимо найти координаты точек, симметричных точке А(2;-4) относительно прямых и .
Найдем координаты точки ), симметричной точке ), относительно прямой вм, заданной уравнением .
Для этого найдем уравнение прямой, проходящей через точку ) перпендикулярно прямой BM.
Уравнение
прямой имеет вид:
.
Уравнение
прямойBM:
,
следовательно,
.
Так
как прямые перпендикулярны, то 
,
то 
.
Таким
образом, уравнение прямой примет вид:
.
Коэффициент
найдем, исходя из того, что точка 
принадлежит данной прямой.
; 
.
Уравнение
прямой, перпендикулярной биссектрисе
BM
и проходящей через точку
имеет вид: 
.
Найдем
точку 
пересечения
данной прямой с прямой BM,
решив систему уравнений:
; 
; 
; 
.
. 
.
Т.к.
точка
)
симметрична точке
)относительно
прямой BM,
следовательно, точка
находится от точек
)
и
)
на одинаковом расстоянии, т.е.точка 
является серединой отрезка
.
Поэтому по формуле координат середины отрезка составим систему уравнений:
; 
.
Точка
имеет координаты 
).
Найдем координаты точки ), симметричной точке ), относительно прямой cм, заданной уравнением .
Для этого найдем уравнение прямой, проходящей через точку ) перпендикулярно прямой CM.
Уравнение прямой имеет вид: .
Уравнение
прямойCM
,следовательно,
.
Так
как прямые перпендикулярны, то
,
то 
.
Таким
образом, уравнение прямой примет вид:
.
Коэффициент найдем, исходя из того, что точка принадлежит данной прямой.
; 
.
Уравнение
прямой, перпендикулярной биссектрисе
CM
и проходящей через точку
имеет вид: 
.
Найдем
точку 
пересечения
данной прямой с прямой CM,
решив систему уравнений:
; 
; 
;
; 
; 
.
. 
Т.к.
точка 
)
симметрична точке
)относительно
прямой CM,
следовательно, точка
находится от точек
)
и
)
на одинаковом расстоянии, т.е.точка 
является серединой отрезка
.
Поэтому по формуле координат середины отрезка составим систему уравнений:
; 
.
Точка
имеет координаты 
).
Найдем координаты прямой BC, решив систему уравнений.
; 
; 
; 
.
Таким
образом, получили уравнение стороны
ВС: 
.
Уравнение стороны AС: .
Уравнение стороны AB: .
Дана вершина (3,5) равнобедренного треугольника , уравнение x-2y+12=0 его основания и площадь s=15. Составить уравнение боковых сторон.
Р b ешение:
C
H
A
Т.к.
координаты вершины (3;5) не удовлетворяют
уравнению прямой 
,
значит нам дана вершина треугольника,
не лежащая на основании.
Найдем уравнение высоты, проходящей через вершину В перпендикулярно прямой АС.
Уравнение прямой имеет вид: .
Уравнение прямойAC: .
.
.
Следовательно,
.
Так
как прямые перпендикулярны, то
,
то 
.
Таким
образом, уравнение прямой примет вид:
.
Коэффициент
найдем, исходя из того, что точка 
принадлежит данной прямой.
; 
.
Получим
уравнение прямой ВH:
.
Найдем координаты точки пересечения прямых ВHи AC, решив систему уравнений:
;
;
;
;
;
Таким образом, точка Hимеет координаты (2;7).
Найдем длину высоты BH:
;
.
Высота, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике, также является медианой и биссектрисой.
;
;
;
Т.к.
ВН является медианой, то вершины А и
С
равноудалены от точки Н на расстояние
.
Тогда координаты точек А и С найдем из формулы расстояния между двумя точками:
;
H(
)=(2;7).
;
;
;
Кроме того, т. А и С лежат на прямой АС, т.е. их координаты удовлетворяют уравнению: .
Решим систему уравнений:
;
;или
Таким образом, получили координаты точек А(-4;4) и С(8;10).
Уравнение прямой АВ найдем, решив систему:
;
;
Уравнение
прямой АВ: 
.
Уравнение прямой BC найдем, решив систему:
;
;
Уравнение
прямойBC:
.
Даны уравнения сторон треугольника 3x+4y=0,3x+y=3 и уравнения x-y=-5 биссектрисы одного из внутренних углов этого треугольника .Составить уравнения третьей стороны.