7.5. Страховой запас

На работу системы управления запасами оказывает влияние множество факторов, что влечет за собой колебания параметров системы, которые в итоге приобретают характер случайных величин. Случайной величиной может быть поступление ресурса, спрос на него, время выполнения заказа. Так как определяющим параметром в моделях управления запасами является спрос, то рассмотрим решение задачи создания страховых запасов на основе влияния спроса.

Пусть спрос на продукцию предприятия и расход материальных ресурсов – стационарная случайная величина с математическим ожиданием и конечной дисперсией .

Страховой или гарантийный запас продукции предназначен для непрерывного снабжения производства или заказчиков в случае непредвиденных обстоятельств (нарушение сроков, объемов поставок и т.д.) и является величиной постоянной, неприкосновенной в нормальных условиях. Обозначим его через .

При наличии страхового запаса издержки работы системы в единицу времени должны учитывать затраты на его хранение. Поэтому, например, при случайном спросе и сохранении остальных предположений модели 7.2.1, функция издержек в единицу времени будет иметь вид

. (7.5.1)

Минимальное значение издержек достигается при

(7.5.2)

и составляет

(7.5.3)

Для бесперебойной работы системы вероятность того, что спрос за время цикла не превысит величины , должна быть достаточно вели-ка. Эту величину называют коэффициентом надежности и обозначают через . Обычно требуется, чтобы коэффициент надежности равнялся 0,9, 0,95 или 0,99. Иногда более приемлем коэффициент риска . Таким образом, если – спрос между двумя последовательными моментами размещения заказа, то

(7.5.4)

где – плотность распределения случайной величины спроса.

а) Определение величины страхового запаса в зависимости от вида функции плотности распределения спроса

Пусть функция плотности спроса подчиняется нормальному закону распределения, т. е. имеет вид

. (7.5.5)

Обозначим , где – среднее квадратическое отклонение спроса. Тогда плотность распределения примет вид . Согласно формуле (7.5.4) задача поиска оптимального страхового запаса в этом случае требует определения такого значения величины по заданному значению коэффициента риска , при котором будет выполнено равенство

. (7.5.6)

Так как риск существует, то для осуществления бесперебойной работы необходимо, чтобы предполагаемый спрос , откуда минимальный страховой запас . По определению, , тогда , и окончательно

. (7.5.7)

Значения в зависимости от значений коэффициента риска приведены в таблице 7.5.1.

Пусть функция плотности спроса подчиняется показательному зако-ну распределения, т. е. имеет вид

. (7.5.8)

Таблица 7.5.1

	0,001	0,005	0,010	0,015	0,020	0,025
	3,0902	2,5758	2,3263	2,1701	2,0537	1,9600
	0,030	0,035	0,040	0,045	0,050	0,100
	1,8808	1,8119	1,7507	1,6954	1,6449	1,2816

На основании (7.5.4) получаем . Проинтегрировав, будем иметь: откуда , и окончательно

(7.5.9)

Пусть спрос распределен дискретно по закону Пуассона, т.е. вероятность определенного значения спроса задается формулой

(7.5.10)

На основании (7.5.4) в данном случае получаем

(7.5.11)

Тогда где критические значения спроса в зависимости от значений коэффициента риска и среднего спроса определяются из таблиц 7.5.2. или 7.5.3.

Таблица 7.5.2

	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
0 1 2 3 4 5 6 7 8	1,00000 0,09516 0,00468 0,00016 0	1,00000 0,18127 0,01752 0,00115 0,00006 0	1,00000 0,25918 0,03694 0,00360 0,00027 0,00002	1,00000 0,32968 0,06155 0,00793 0,00078 0,00006	1,00000 0,39347 0,09020 0,01439 0,00175 0,00017 0,00001	1,00000 0,45119 0,12190 0,02312 0,00336 0,00039 0,00004	1,00000 0,50341 0,15580 0,03414 0,00575 0,00079 0,00009 0,00001	1,00000 0,55067 0,19121 0,04742 0,00908 0,00141 0,00018 0,00002	1,00000 0,59343 0,22752 0,06286 0,01346 0,00234 0,00034 0,00004 0,00001

Таблица 7.5.3

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25	1,00000 0,63212 0,26424 0,08030 0,01899 0,00366 0,00059 0,00008 0,00002	1,00000 0,86466 0,59399 0,32332 0,14288 0,05265 0,01656 0,00453 0,00110 0,00024 0,00005 0,00001	1,00000 0,95021 0,80085 0,57681 0,35277 0,18474 0,08392 0,03351 0,01191 0,00381 0,00111 0,00030 0,00008 0,00002	1,00000 0,98168 0,90842 0,76190 0,56653 0,37166 0,21487 0,11067 0,05113 0,02136 0,00823 0,00284 0,00092 0,00027 0,00008 0,00002 0,00001	1,00000 0,99326 0,95957 0,87535 0,73498 0,55951 0,38404 0,23782 0,13337 0,06809 0,03182 0,01369 0,00545 0,00202 0,00070 0,00023 0,00007 0,00002 0,00001	1,00000 0,99752 0,98265 0,93803 0,84880 0,71494 0,55432 0,39370 0,25602 0,15257 0,08392 0,04262 0,02009 0,00883 0,00363 0,00140 0,00051 0,00017 0,00006 0,00002 0,00001	1,00000 0,99909 0,99271 0,97037 0,91824 0,82702 0,69930 0,55030 0,40130 0,27092 0,16951 0,09853 0,05336 0,02701 0,01282 0,00573 0,00242 0,00097 0,00037 0,00014 0,00005 0,00002 0,00001	1,00000 0,99968 0,99698 0,98625 0,95762 0,90037 0,80876 0,68663 0,54704 0,40745 0,28338 0,18411 0,11192 0,06380 0,03418 0,01726 0,00823 0,00372 0,00159 0,00065 0,00025 0,00009 0,00003 0,00001	1,00000 0,99988 0,99877 0,99378 0,97879 0,94505 0,88432 0,79323 0,67611 0,54435 0,41259 0,29401 0,19699 0,12423 0,07385 0,04147 0,02204 0,01111 0,00532 0,00243 0,00106 0,00044 0,00018 0,00007 0,00003 0,00001

б) Порядок определения страхового запаса с использованием критерия Пирсона

Исходя из характера спроса по наблюдаемой совокупности данных о потребности в продукции, необходимо по выборочным наблюдениям построить дискретный или интервальный вариационный ряд. Затем сроится гистограмма или полигон, вычисляются числовые характеристики выборочной совокупности.

По виду гистограммы или полигона, а также по соотношению выборочных числовых характеристик выдвигается гипотеза о теоретическом законе распределения совокупности, задается вид функции распределения.

Для проверки выдвинутой гипотезы можно применить критерий Пирсона, который использует случайную величину

(7.5.12)

где – эмпирические частоты, – теоретические частоты случайной величины спроса для построенного интервального или дискретного вариационного ряда, k – количество интервалов или значений случайной величины, r – количество оцениваемых параметров функции распределения.

Заметим, что критерий Пирсона можно применять только в том случае, если все теоретические частоты . Если для какого-либо интервала или дискретного значения это условие не выполняется, то их следует объединить с соседними, при этом k примет новое значение.

После расчета, полученное значение следует сравнить с критическим значением , которое определяется из таблицы «Критические точки распределения» в зависимости от уровня значимости и количества степеней свободы . Если , то выдвинутая гипотеза принимается, в противном случае – отвергается.

Зная закон распределения спроса, можно перейти к нахождению величины страхового запаса, методы расчета которого изложены в п.а).

Пример 7.5.1.

Фирма «АВС» занимается программным обеспечением компьютерных систем в бизнесе. Фирме необходимо иметь диски под системные программы. Временное отсутствие дисков ведет к аннулированию заказа. Покупка дисков осуществляется у внешнего поставщика, стоимость одного заказа – 20 ден. ед. Годовые издержки хранения одного диска составляют 0,2 ден. ед. В таблице 7.5.4 приведены сведения о еженедельной потребности в дисках.

Таблица 7.5.4

Номер интервала	Интенсивность потребления	Частота	Номер интервала	Интенсивность потребления	Частота
1 2 3 4 5	10–12 12–14 14–16 16–18 18–20	2 5 8 15 23	6 7 8 9 10	20–22 22–24 24–26 26–28 28–30	20 14 6 5 2

Требуется определить величину страхового запаса, гарантирующего постоянное наличие дисков с надежностью 0,95; найти оптимальный объем поставок и минимальные издержки фирмы по организации закупок и хранения дисков.

Решение.

Построим гистограмму распределения недельной интенсивности потребления (рис. 7.5.1).

23

5

О 10 30 s_i

Рис. 7.5.1

Эмпирическая функция распределения будет иметь вид (7.5.13).

(7.5.13)

Обозначим через середины соответствующих интервалов и с помощью Microsoft Excel рассчитаем числовые характеристики данной совокупности. Вспомогательные расчеты приведены в таблице 7.5.5.

Таблица 7.5.5

№ п/п	Интервал
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	10–12 12–14 14–16 16–18 18–20 20–22 22–24 24–26 26–28 28–30	11 13 15 17 19 21 23 25 27 29	2 5 8 15 23 20 14 6 5 2	22 65 120 255 437 420 322 150 135 58	-8,84 -6,84 -4,84 -2,84 -0,84 1,16 3,16 5,16 7,16 9,16	156,2912 233,9280 187,4048 120,9840 16,2288 26,9120 139,7984 159,7536 256,3280 167,8112	-1381,6100 -1600,0700 -907,0390 -343,5950 -13,6322 31,2179 441,7629 824,3286 1835,3080 1537,1510	12213,47 10944,46 4390,07 975,81 11,45 36,21 1395,97 4253,54 13140,81 14080,30
	Всего	–	100	1984	–	1465,44	423,8222	61442,09

Приведем использованные для расчетов формулы и полученные числовые характеристики:

– среднее значение спроса (шт.);

– дисперсия ;

– среднее квадратичное отклонение (шт.);

– коэффициент асимметрии

;

– коэффициент эксцесса

;

– коэффициент вариации или 19,29%.

По виду гистограммы распределения, а также по значению коэффициента вариации, соответствующего диапазону [0,08;0,4], выдвинем гипотезу о нормальном законе распределения совокупности.

Плотность распределения вероятностей в случае нормального закона распределения имеет вид:

.

Параметрами данного закона распределения являются а и . В качестве оценок данных параметров будем использовать полученные значения среднего выборочного и среднего квадратичного отклонения: и

Для нахождения теоретических частот от дискретного ряда переходим к интервальному и, воспользовавшись формулой

, (7.5.14)

с применением Microsoft Excel получаем результаты в виде таблицы 7.5.6.

Таблица 7.5.6

№ п/п
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	11 13 15 17 19 21 23 25 27 29	- – 12 12 – 14 14 – 16 16 – 18 18 – 20 20 – 22 22 – 24 24 – 26 26 – 28 28 –	2 5 8 15 23 20 14 6 5 2	0,0202 0,0444 0,0933 0,1575 0,2013 0,1970 0,1477 0,0848 0,0373 0,0165	2,02 4,44 9,33 15,75 20,13 19,70 14,77 8,48 3,73 1,65

Для примера вычислим теоретическую частоту По формуле (7.5.14)

Перед тем как вычислять , объединим интервалы таким образом, чтобы частоты были больше или равны 5. Результаты представим в новой таблице, выполненной на основании табл. 7.5.6.

Таблица 7.5.7

№ п/п
1 2 3 4 5 6 7 8	- – 14 14 – 16 16 – 18 18 – 20 20 – 22 22 – 24 24 –26 26	7 8 15 23 20 14 6 7	6,46 9,33 15,75 20,13 19,70 14,77 8,48 5,38

На основании данных таблицы 7.5.7 вычисляем

Число степеней свободы Тогда, при уровне значимости из таблицы «Критические точки распределения» определяем Так как , то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном законе распределения совокупности.

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что расхождение между эмпирическими частотами распределения совокупности еженедельного спроса на диски и соответствующими теоретическими частотами нормального закона распределения незначимо.

Определим оптимальный размер страхового запаса с надежностью 0,95. Для этого воспользуемся формулой (7.5.7). Из таблицы 7.5.1 получаем , тогда страховой запас составит

(шт.).

Так как по условию задачи речь идет о неделимой продукции, то для выполнения остальных расчетов будем использовать среднее значение спроса (шт.) и страховой запас (шт.) Для определения оптимального размера заказываемой партии используем два подхода. Пусть заказ осуществляется при ориентации на еженедельный спрос. Тогда оптимальный размер заказываемой партии составит (шт.), что позволит выполнять один заказ в (недели) или 2,28 раза в год, при этом минимальные еженедельные издержки фирмы по организации закупок и хранения дисков в среднем составят (ден. ед.), а за год (ден. ед.).

Пусть заказ осуществляется при ориентации на годовой спрос. Оптимальный размер заказываемой партии составит

(шт.), минимальные издержки фирмы по организации закупок и хранения дисков

(ден. ед.).

Вывод. По совокупности наблюдений за еженедельным спросом на диски был выполнен анализ ряда распределения; с вероятностью 0,95 проведена проверка гипотезы о нормальном законе распределения совокупности, гипотеза подтверждена; установлено среднее значение спроса на диски в неделю – 20 шт., размер страхового запаса – 6 шт.; определен оптимальный размер заказываемой партии – 246 шт., интервал размещения заказа – 22,8 недели, оптимальные издержки фирмы по организации закупок и хранения дисков в год составят 92,414 ден. ед.