Диференційовність функцій. Умови Коші-Рімана.

Околом точки називається внутрішність деякого круга на комплексній площині з центром у вказаній точці, тобто множина , .

Функція , яка визначена у деякому околі точки , називається диференційовною у цій точці, якщо існує скінченна границя

,

яку називають похідною від функції в точці .

Функція є диференційовною в точці тоді та тільки тоді, коли виконуються умови Коші-Рімана

, ,

при цьому

.

Однозначну функцію , яка у всіх точках деякої області є неперервно диференційовною (має неперервну похідну), називають аналітичною (регулярною) в цій області.

Однозначні елементарні функції є аналітичними.

Елементарні функції комплексної змінної можна диференціювати за тими ж формулами, що і функції дійсної змінної.

Інтегрування комплексних функцій. Інтегральна формула Коші

Розглянемо спрямлювану криву , в кожній точці якої задано функцію . Інтегралом від функції вздовж називають

,

де криву поділено на малі частки , – довільна точка, яка лежить на відповідній частці кривої, а границя існує і не залежить від способу поділу кривої на частки та від способу вибору точок .

Якщо є кусочно гладкою кривою, а функція – кусочно неперервна та обмежена, то цей інтеграл завжди існує. Він зводиться до обчислення вздовж кривої криволінійних інтегралів за координатами від функцій дійсних змінних

.

Теорема Коші. Якщо функція аналітична у однозв’язній області , межею якої є кусочно гладкий контур , та неперервна у замкненій області , то інтеграл від цієї функції вздовж лінії дорівнює нулю:

.

Теорема Коші для багатозв’язної області. Розглянемо область , межа якої складається з замкненої лінії та ліній , ,… , які лежать всередині та попарно не перетинаються. Тоді, якщо функція аналітична у області та неперервна у замкненій області , то інтеграл від цієї функції вздовж повного контуру дорівнює нулю:

, тобто

.

Інтегральна формула Коші. Розглянемо однозв’язну область та замкнену криву , яка повністю міститься у разом з своєю внутрішністю . Якщо функція аналітична у області , то для будь-якої точки має місце рівність

.

Інтеграл називається інтегралом Коші.

Формула типу Коші. Якщо функція аналітична у області та неперервна у замкненій області , то у довільній внутрішній точці області функція має похідну будь-якого порядку, та

.

Ряди з комплексними членами. Степеневі ряди. Круг збіжності

Розглянемо послідовність комплексних чисел та побудуємо ряд . Частковою сумою цього ряду називається сума .

Якщо існують скінченні границі та , то величина також має скінченну границю , ряд називається збіжним, а число – сумою цього ряду.

Ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд .

Необхідна умова збіжності. Якщо ряд збігається, то .

Наслідок. Якщо , то ряд розбігається.

Ознака збіжності Даламбера. Нехай . Тоді, якщо , ряд є абсолютно збіжним, а якщо , то та ряд розбігається.

Ознака збіжності Коші. Нехай . Тоді, якщо , ряд є абсолютно збіжним, а якщо , то та ряд розбігається.

Функціональний ряд структури називається степеневим. Область збіжності такого ряду (тобто множину всіх значень змінної, для яких збігається відповідний числовий ряд) складають внутрішні точки кругу збіжності , та, можливо, деякі або всі точки кола , яке обмежує цей круг. У внутрішніх точках круга збіжності ряд є абсолютно збіжним, ззовні кола ряд розбігається. Радіус збіжності обчислюється за формулами

або .

Круг збіжності можна також можна знайти безпосередньо з умов або , де та .