7. Теорема Лагранжа

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] , дифференцируема на всем интервале (a;b) . Тогда на (a;b) существует точка с , a < c < b, такая, что (f(b) – f(a))/ (b - a) = f `(c) или f(b) – f(a) = f `(c) (b-a).

Д-во:

Рассмотрим вспомогательную функцию

F(x) = [f(x) – f(a)] - (x-a).

Она

a)определена и непрерывна на [a;b], так как функция f(x) непрерывна на [a;b];

существует F`(x):

F`(x) = f `(x) – [ ].

F(a) = F(b) = 0.

Таким образом, для F(x) выполнены все условия теоремы Ролля. Действительно, она непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Нетрудно проверить, подставляя x=a и x=b , что F(a) = 0 и F(b) = 0, т.е. F(a) = F(b). Поэтому и существует с принадлежащая [a;b] такая, что

F`(c) = f `(c) – [ ]=0.

Но когда в этой точке с

= f `(c),

что и дает формулу Лагранжа.

8. Теорема Коши

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a;b], дифференцируемы на интервале (a;b) и g(x) ≠ 0 на интервале (a;b). Тогда существует точка с, a< c < b, такая, что

Д-во:

g(a) ≠ g(b) (т.к. по теореме Ролля существует с | g `(c) =0).

Рассмотрим функцию F(x) = [f(x) – f(a)] – *[g(x)-g(a)]

1)Функция определена и непрерывна на [a;b];

2)Существует F `(x) = f `(x) – * g `(x);

3)F(a) = F(b) = 0

F(x) – удовлетворяет теореме Ролля

Существует c ϵ (a;b) | F `(c) = f `(c)- * g `(c) =>

g(x) = x

9. Теорема о дифференцируемости параметрически заданной функции

Если функция аргумента х задана параметрически:

α ≤ t ≤ β,

Где φ(t) и ψ(t) – дифференцируемые функции, причем φ`(t) ≠ 0, то производная этой функции по переменной х вычисляется по формуле

_.

Док-во:

Пусть и – дифференцируемы и ≠ 0. Кроме того, будем считать, что функция х = имеет обратную функцию t = φ ^-1(x), которая также дифференцируема. Тогда функцию, заданную параметрически, можно рассматривать как

y = ψ(t), t = φ ^-1(x),

считая t промежуточным аргументом.

Продифференцируем функцию y = ψ(t), t = φ ^-1(x) по правилу дифференцирования сложной функции, получим

y`(x) = ψ`(t)*t`(x).

Производную t`(x) найдем по правилу дифференцирования обратной функции:

t`(x) = .

Итак, окончательно имеем: если , то .

10. Аналитические признаки строгой монотонности.(достаточные условия)

Пусть функция f(х) определена и непрерывна на отрезке [a, b] и в каждой точке [a, b] существует f '(х). Тогда, для того, чтобы f(x) была монотонно возрастающей (убывающей) функцией достаточно, чтобы

A x Э[a,b]f '(x)>=0 (f '(x)<=0).

Доказательство.

Достаточность. Пусть х₂ > х₁. Тогда, по формуле Лагранжа

f(x₂)-f(x_]) = f '(c)(x₂-x_])>=0,

так как f '(с)>=0. Но тогда f(x₂)>=f(x_]). При этом если для всех х Э

(а,b) выполняется неравенство f ' (х) > 0 и, следовательно, в формуле Лагранжа f '(с) > О, то f(x₂) > f(x_t) и функция f строго возрастает.

Аналогично доказывается если f(х) монотонно убывающая функция.

11. Первый достаточный признак экстремума

Пусть х₀ - критическая точка непрерывной функции f(х). Если f' (х) при переходе через точку x₀ меняет знак с «+» на «-», то x₀ — точка локального максимума. Если f '(х) при переходе через точку х₀ меняет знак с «-» на «+», то х₀- точка локального минимума. Если f '(х) при переходе через точку x₀ не меняет знак, то х₀ не является точкой локального экстремума.

Доказательство. Пусть x₀ - точка возможного экстремума функции, причем

f '(x)>0 для x<х₀, A x Э U(x₀,Дельта);

f '(x)<0 для х>х₀, A x Э U(x₀ ,Дельта ). Тогда

при f '(x)>0 для x<х₀, A x Э U(x₀,Дельта); => f(x₀)>f(x),

при f '(x)<0 для х>х₀, A x Э U(x₀ ,Дельта). => f(x₀)<f(x),

следовательно A x Э U(x₀,Дельта): f(x₀)>f(x), т. е. точка х₀ является точка локального максимума.

Аналогично доказывается и существование точки локального минимума. Если f `(x) сохраняет знак в окрестности точки х₀, то в этой окрестности функция монотонна, т. е. точка х₀ не является точкой локального экстремума.