7. Архимед қасиеті. Жиынның тығыздылығы.

Теорема. Егер және оң сандар болса, онда қандай да бір бүтін n саны үшін болады.

Дәлелдеуі. келесі жиынның жоғарғы жағы болсын.

супремумға ие болады.

үшін

жоғарғы жақ.

қайшылық.

Жиын тығыздығы.

үшін кез келген ашық интервалы –мен ортақ элементке ие болса, онда -де тығыз жиын д.а.

Теорема. рационал сандар жиыны нақты сандар жиынында тығыз орналасқан, яғни үшін болатын саны табылады.

8. Рационал сандар және иррационал сандар жиындарының нақты сандар жиынындағы тығыздығы.

Анықтама,1.5. Д R-дің ішкі жиыны үшін кез-келген ашық (a,b)интервалына Д мен ортақ элементке ие болса,онда Д тығыз жиыны деп аталады.

1)a<0,b>0 a+b

a)a+b>0

│a+b│=a+b=-│a│+│b│<│a│+│b│

2)a+b<0

│a+b│=-b-a=│a│-│b│<│a│+│b│

Теорема,1.1.6.Рационал сандар жиыны Q нақты сандар жиыны R-ден тығыз орналасқан яғни,кез-келген а,б жатады R, a <b үшін а<p/q<b болатын p/q жатады Q саны табылады

Кез-келген P(ро);ἐ>0 табылады n жатады Z;nἐ>P(ро)

P(ро)=1 ,ἐ=б-а ,табылады q жатады Z;q(b-a)>1

ἐ=1. P(ро)=qa ,табылады j жатады Z;j>qa

j-кез-келген сан

Теорема1.1.7.Ирроционал сандар жиыны нақты сандар жиынында тығыз ;

Кез-келген а,b,а<b жатады R үшін а<+<b болатындай t ирроционал саны табылады

a<r1+r2<b табылады r1,r2 жатады Q;r-рационал кез-келген сан

t=r1+1/ (r2-r1)

a<r1<t<r2<b

a<t<b

9. Төменгі жақ. Төменнен шенелген жиын.Инфимум .

барлық үшін теңсіздігі орындалатын нақты сан табылуы керек, яғни Мұндай саны жиынының төменгі жағы деп аталады.

Егер шарты орындалса , яғни әрбір нақты сан үшін одан кіші жиынының элементі бар болса, онда төменнен шенелмеген не шектелмеген жиын болады.

Егер жиыны жоғарыдан да,төменнен де шенелген болса, яғни шарты орындалса, онда -ні төменнен шенелген не шектелген жиын деп атайды.

Әрине, Е шенелген жиын болуы белгілі бір саны мен барлық үшін теңсіздігі орындалуымен пара-пар .

E жиынының ең үлкен төменгі шекарасы инфимум деп аталады да, немесе символдарымен белгіленеді.

Сонымен, саны Е жиынының инфимумы болуы үшін келесі екі шарт орындалуы керек:

1. саны Е жиынының төменгі шекарасы, яғни әрбір үшін болады.

2. cаны Е жиынының төменгі шекараларының ең үлкені, яғни санынан үлкен болатын әрбір саны Е жиынының төменгі шекарасы бола алмайды. Басқа сөзбен айтқанда, теңсіздігін қанағаттандыратын кез-келген саны үшін теңсіздігі орындалатын саны табылады.

Инфимумның анықтамасы кванторлар тілінде былай жазылады:

1. 

2. 

cанынан үлкен болатын кез-келген саны түрінде бейнеленеді, сондықтан 2) шарты былай да жазылады:

Әрине, Е жиынының ең кіші элементі бар болса, онда ол Е-нің инфимумы болады.