18. Обратные тригонометрические функции.

АРКСИНУС И ЕГО ГРАФИК

Функция   x = arcsin y   является   обратной  к  функции    y = sin x   на отрезке   .    Для   исходной  и  обратной  функций   привычнее  аргументы  и   функцию  обозначать  одними   и  теми  же  буквами:     

y = sin x,  y = arcsin x.  

      В  таких  обозначениях  графики  указанных  функций  симметричны     относительно  прямой   y = x.   Поэтому,  нарисовав  график  функции   y = sin x на отрезке       и  симметрично   отобразив   его относительно   прямойy = x,   получим  график  арксинуса.

а)  Область  определения:   D (arcsin x) = [ – 1, 1].

б)  Множество  значений:   E (arcsin x) = .

в)  Четность,  нечетность:   функция  нечетная.

г)   Нули  функции:   arcsin x = 0   при   x = 0.

д)  Промежутки  знакопостоянства:

е)  Промежутки  монотонности:  функция  возрастает  на  всей  области  определения.

АРКОСИНУС И ЕГО ГРАФИК

Функция   x = arccos y   является  обратной  к  функции   y = cos x   на отрезке x   [ 0,  ].       Для   исходной  и  обратной  функций  привычнее  аргументы  и  функцию   обозначать  одними  и  теми  же  буквами:    

y = cos x,   y = arccos x.

 

а)  Область  определения:   D (arccos x) = [ – 1, 1].

   б)  Множество  значений:   E (arccos x) = [0,  ].

   в)  Четность,  нечетность:   функция  не является ни четной, ни нечетной.

     г)   Нули  функции:   arccos x = 0   при   x = 1.

     д)  Промежутки  знакопостоянства:   arcсos x > 0   при   x  [– 1, 1).

     е)  Промежутки  монотонности:   функция  убывает  на  всей  области  определения.

АРКТАНГЕНС И ЕГО ГРАФИК

  Функция   x = arctg y   явлется  обратной  к  функции,   y = tg x   на  интервале .    Для   исходной   и  обратной  функций   привычнее  аргументы  и  функцию   обозначать  одними  и  теми  же  буквами:   y = tg x,    y = arctg x. 

АРКОТАНГЕНС И ЕГО ГРАФИК  

Функция   x = arcctg y   является  обратной  функции  y =ctg x   на  интервале  x  (0,   ).       Для  исходной  и  обратной  функций  привычнее   аргументы  и   функцию  обозначать  одними   и   теми   же   буквами:   y = ctg x,  y = arcctg x . 

а)  Область  определения:   D (arcctg x) = R. б)  Множество  значений:   E (arcctg x) = (0,  ).

в)  Четность,  нечетность:   функция  не является ни четной, ни нечетной

г)   Нули  функции:   нет.

д)  Промежутки  знакопостоянства:   arcctg x > 0   при   всех  x.

е)  Промежутки  монотонности:   функция  убывает  на  всей  области  определения.

    

18. Простейшие тригонометрические уравнения.

тригонометрическим  уравнением  называется  уравнение  вида

где   f (x, y)    и   g (x, y)    –  тригонометрические  выражения.

     Для  таких  уравнений  справедливы  все  общие  положения  о равносильности  уравнений   и  их  следствиях.  Обычно  каждое  тригонометрическое  уравнение  с  помощью  соответствующим  образом подобранного  преобразования  сводится  к  простейшему тригонометрическому уравнению.

К  простейшим  тригонометрическим  уравнениям  относятся   следующие:

где    x  –  неизвестная  величина,   a  –  постоянная   (известное  число).

 

Формулы  решений  простейших  тригонометрических  уравнений

 

 

      Обращаем внимание  на то,  что  уравнения  для   tg x  и   ctg x   имеют решения  при  любом  значении  a   R,  а  уравнения  для   sin x   и   cos x  – лишь   при    a   [–1, 1].

Уравнение	Множесво решений