1.2.2. Методика проведения группировок

В процессе отнесения единиц совокупности к различным группам необходимо решить следующие проблемы:

1) выбрать группировочный признак, который адекватен цели исследования и характеру исходной информации;

2) определить количество групп;

3) установить границы групп.

Выбор группировочного признака. В качестве основы группировки следует использовать существенные признаки. Включение какой-либо характеристики явления в состав группировочных признаков должно быть теоретически обосновано.

Признаки, на основе которых могут производиться статистические группировки, классифицируются следующим образом:

1) по форме выражения:

– атрибутивные, т. е. не имеющие количественного значения;

– количественные, т. е. принимающие различные цифровые характеристики у отдельных единиц изучаемой совокупности. Количественные признаки могут быть дискретными (прерывными), значения которых выражаются только целыми числами, и непрерывными, принимающими как целые, так и дробные значения;

2) характеру колеблемости:

– альтернативные, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие;

– неальтернативные, т. е. имеющие множество количественных значений;

3) роли во взаимосвязи изучаемых явлений:

– факторные, т. е. воздействующие на другие признаки;

– результативные, т. е. испытывающие на себе влияние других признаков. В зависимости от сложившихся объективных условий и цели исследования признаки могут меняться ролями. В одних случаях они являются факторными признаками, в других – результативными.

Определение количества групп. Число групп зависит от задачи исследования и вида признака, положенного в основание группировки, объема совокупности и степени вариации признака.

При построении группировки по атрибутивному признаку количество групп будет предопределено числом имеющихся градаций, видов, состояний этого признака.

Пример 1.5. В сообществе ламинариевых на исследованных участках Земли Франца-Иосифа было отмечено 17 видов макрофитов. Все найденные виды можно разделить по цветам: зеленые, бурые и красные. Следовательно, в данном случае можно выделить три группы.

По аналогии расчленяется совокупность по дискретному признаку, изменяющемуся в незначительном диапазоне.

Пример 1.6. При подсчете частиц угля в одной вакуоли у парамеций были получены следующие данные: 4; 3; 3; 0; 2; 2; 2; 3; 1; 0; 0; 1; 2; 2; 2; 2; 3; 4; 2; 2; 3; 0; 2; 1; 3; 2; 2; 3; 2; 1; 2; 2; 1; 2; 4; 0; 0; 2; 3; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 2; 3; 1; 0; 0; 4; 2; 2; 2; 4; 2; 1; 2; 2; 3; 2; 3; 2; 2; 2; 3; 3; 2; 0; 2; 0; 0; 2; 1; 2; 3; 3; 4; 0; 1; 2; 1; 2; 3; 3. Признак является дискретным, причем может принимать всего 5 различных значений: 0; 1; 2; 3 и 4. Следовательно, исходные данные можно разделить на 5 групп.

Число групп зависит от объема совокупности. Не существует строго научных приемов, применимых для определения числа групп всех совокупностей. Эта задача решается с учетом конкретных обстоятельств. Однако американским ученым Стерджессом разработана формула, с помощью которой с учетом равенства интервалов можно наметить число групп при известной численности совокупности N:

m = 1 + 3,322 lg N, (1.1)

где m – число групп.

Пример 1.7. Если выборка содержит 62 значения, то по формуле (1.1) получим

.

Так как число групп целое, то рекомендуется построить 7 групп.

Недостаток формулы (1.1) заключается в том, что с ее помощью можно достичь желаемого результата только при условии большого числа единиц совокупности и распределении их по признаку, положенному в основание группировки, близком к нормальному.

Способ определения числа групп, основанный на применении показателя среднего квадратического отклонения σ, заключается в следующем: если величина интервала равна 0,5σ, то совокупность разбивается на 12 групп, если величины интервала 2/3σ и σ, то совокупность делится соответственно на 9 и 6 групп.

Виды интервалов. При группировке по количественному признаку появление интервального варианта представления статистических данных обусловлено, во-первых, вариативностью изучаемых явлений, и, во-вторых, большим числом единиц наблюдаемой совокупности. Применение интервалов может быть вызвано непрерывностью изучаемого признака.

Интервал отражает нижнюю и верхнюю границы изменчивости признака и имеет форму представления "от… – до…".

В зависимости от степени колеблемости группировочного признака, характера распределения статистической совокупности устанавливаются интервалы равные или неравные. Равные интервалы используются, когда изменение признака внутри совокупности происходит равномерно либо далее планируется последующая математическая обработка сгруппированных данных. Неравные интервалы используются в тех случаях, когда колеблемость признака осуществляется неравномерно и в больших пределах. Длины неравных интервалов обычно возрастают или убывают в арифметической или геометрической прогрессии.

В процессе группировки устанавливаются открытые (указывается одна граница – верхняя или нижняя) и закрытые (имеющие нижнюю и верхнюю границы) интервалы. Закрытые интервалы могут иметь:

а) индивидуальные границы, например,

б) равные у двух смежных интервалов верхние и нижние границы, например,

Необходимость в открытых интервалах обусловлена большой колеблемостью изучаемого признака, разбросом его количественных значений, требующих образования множества групп, если отделять их обеими границами. Открытыми могут быть только первый (имеет верхнюю границу) и (или) последний (имеет нижнюю границу) интервалы, например, .

Определение величины и границ интервала. Рассмотрим построение группировок с равными интервалами (группировки с неравными интервалами применяются сравнительно редко).

Расчет величины интервала (шага) h для ряда с равными интервалами осуществляется после определения количества групп m по формуле

(1.2)

или

, (1.2а)

где R = x_max – x_min – размах вариации; x_max и x_min – максимальное и минимальное значения признака в изучаемой совокупности; N – объем совокупности.

Перед определением размаха вариации из совокупности рекомендуется исключить аномальные наблюдения.

Получаемую при вычислении шага дробную величину следует округлить, учитывая при этом, что точность шага не может быть больше точности, принятой при измерении признака. Следует использовать следующие правила округления величины интервала:

1. Если величина интервала имеет один знак до запятой, то значения округляют до десятых (например, в результате округления значений интервала 0,59; 1,238; 4,21 получим 0,6; 1,2 и 4,2).

2. Если величина интервала имеет две значащие цифры до запятой, то значение округляют до целого числа (например, число 24,69 следует округлить до 25).

3. Если величина интервала представляет собой трехзначное, четырехзначное (и т. д.) число, то эту величину необходимо округлить до ближайшего числа, кратного 100 или 50 (например, 396 следует округлить до 400, 537 – до 550).

Границы групп определяются следующим образом: для первой группы нижней границей является значение признака x_нач (оно может совпадать с минимальным вариантом в выборке или быть меньше его), а верхней – x_нач + h; для второй группы нижней границей является x_нач + h, верхней – x_нач + 2h; также определяем границы третьей и последующих групп, пока не получим интервал, в который попадает максимальное значение признака x_max.

Методологически сложным является вопрос о нахождении значения нижней границы первого интервала x_нач. Следует использовать следующие варианты решения:

1. При получении в процессе расчета длины интервала по формуле (1.2) значения, не требующего округлений, x_нач будет совпадать с минимальным значением признака x_min. Если расчеты выполнены верно, верхней границей последнего интервала будет максимальное значение признака x_max в изучаемой совокупности.

Пример 1.8. Длины максимального стеблевого листа (в мм) 62 растений нивяника обыкновенного равны: 56; 61; 66; 67; 53; 84; 82; 80; 44; 68; 60; 61; 54; 60; 60; 62; 62; 55; 55; 54; 57; 47; 55; 60; 63; 38; 59; 45; 49; 57; 78; 68; 43; 62; 64; 48; 74; 43; 40; 53; 76; 72; 74; 76; 86; 50; 69; 69; 71; 76; 47; 71; 54; 63; 66; 56; 52; 87; 44; 69; 64; 64.

На основе исходных данных имеем: N = 62, x_min = 38, x_max = 87, количество групп m = 7 (расчет указан в примере 1.7). Найдем шаг по формуле (1.2):

мм.

В качестве нижней границы первого интервала x_нач выберем x_min = 38 мм, определим границы групп и укажем их табл. 1.5.

Таблица 1.5

Группы растений по длине максимального стеблевого листа

Номер группы	1	2	3	4	5	6	7
Границы группы	38–45	45–52	52–59	59–66	66–73	73–80	80–87

2. При проведении расчета шага по формуле (1.2а) в качестве начального значения первого интервала рекомендуется использовать величину x_нач, рассчитанную по формуле

x_нач = x_min – h/2. (1.3)

Следует отметить, что такой выбор нижней границы первого интервала не всегда оправдан, так как порою приводит к увеличению размаха варьирования на длину интервала и числа групп на одну. Избежать этого можно, округлив шаг в большую сторону. Значение x_нач найдем по формуле

. (1.3а)

Пример 1.9. Были произведены измерения высоты раковин (в мм) 30 экземпляров моллюска Littorina saxatilis, получены результаты: 5,1; 6,1; 5,4; 6,1; 6,2; 6,1; 5,9; 5,9; 7,1; 6,4; 6,7; 6,8; 6,4; 6,8; 7,9; 7,6; 7,7; 7,6; 8,3; 8,4; 8,1; 7,6; 8,4; 8,9; 9,1; 10,6; 12,1; 12,4; 12,2; 12,2. Произведем группировку полученных данных: N = 30, x_min = 5,1, x_max = 12,4, R = 7,3.

Найдем шаг интервала по формуле (1.2а):

и нижнюю границу первого интервала по формуле (1.3):

x_нач = 5,1 – 1,2/2 = 5,1 – 0,6 = 4,5.

Определим границы групп и укажем их в табл. 1.6.

Таблица 1.6

Группы моллюсков по высоте раковин (h = 1,2)

Номер группы	1	2	3	4	5	6	7
Границы группы	4,5–5,7	5,7–6,9	6,9–8,1	8,1–9,3	9,3–10,5	10,5–11,7	11,7–12,9

В результате расчета получим 7 групп, хотя оптимальное число групп при объеме выборки N = 30 должно быть не больше шести. Размах варьирования составил R = 12,9 – 4,5 = 8,4 мм, что на 1,1 мм больше размаха исходной совокупности. При большом объеме выборки (N > 100) это было бы не столь существенно. Но в данном случае лучше построить интервалы, используя для нахождения x_нач формулу (1.3а). Округлим длину шага до 1,3 и получим:

мм.

Следовательно, в качестве x_нач можно использовать значение 4,9. Определим границы групп и укажем их в табл. 1.7.

Таблица 1.7

Группы моллюсков по высоте раковин (h = 1,3)

Номер группы	1	2	3	4	5	6
Границы группы	4,9–6,2	6,2–7,5	7,5–8,8	8,8–10,1	10,1–11,4	11,4–12,7

При таком обозначении границ может возникнуть вопрос: в какую группу включать единицы совокупности, значение признака у которых совпадает с границами интервалов? Например, в третью или четвертую группу должно войти значение, равное 8,8 мм. На практике эта проблема решается по-разному. Если нижняя граница формируется по принципу "включительно", а верхняя – по принципу "исключительно", то значение 8,8 должно быть отнесено к четвертой группе, в противном случае – к третьей. Можно применять оба способа, но все же более предпочтительным является первый.

Для того чтобы правильно отнести к той или иной группе единицу совокупности, у которой значение признака совпадает с границами интервалов, можно использовать открытые интервалы. Примеры открытых интервалов указаны в табл. 1.8.

Таблица 1.8

Группы моллюсков по высоте раковин (с открытыми интервалами)

Номер группы	1	2	3	4	5	6
Границы группы	до 6,2	6,2–7,5	7,5–8,8	8,8–10,1	10,1–11,4	11,4 и более

Чтобы четко разграничить группы и решить проблему отнесения того или иного значения изучаемого признака, необходимо использовать следующие способы:

1. На величину, равную точности, принятой при измерении признака, уменьшить верхние границы групп (в нашем примере группы 1–5) (табл. 1.9).

2. Увеличить нижние границы групп (в данном случае 2–6) (табл. 1.10).

Таблица 1.9

Группы моллюсков по высоте раковин (с индивидуальными границами)

Номер группы	1	2	3	4	5	6
Границы группы	4,9–6,1	6,2–7,4	7,5–8,7	8,8–10,0	10,1–11,3	11,4–12,7

Таблица 1.10

Группы моллюсков по высоте раковин (с индивидуальными границами)

Номер группы	1	2	3	4	5	6
Границы группы	4,9–6,2	6,3–7,5	7,6–8,8	8,9–10,1	10,2–11,4	11,5–12,7

После завершения процесса формирования групп необходимо произвести по ним разноску исходных данных. В результате не должно получиться так называемых "пустых" групп, в которые не попала ни одна единица совокупности. Наличие таких интервалов свидетельствует о том, что группировка построена неправильно. В этом случае надо уменьшить количество групп на одну и провести группировку заново.

При работе с несколькими выборками (в том числе и различающимися по объему или размаху вариации) нужно составлять группы с одинаковыми числом интервалов и их границами. Это необходимо, например, для того, чтобы можно было сравнить их по виду распределения.