1. Математичне програмування (планування) як апарат для визначення елементів рішення в умовах заданої обстановки.

Отже, за допомогою методів математичного програмування відшукується варіант рішення X_i з найбільшим значенням результату, тобто X_i. Протилежна ситуація (з оцінкою витрат засобів) досліджується за аналогією шляхом мінімізації оцінки ( X_i).

Таким чином, вибір оптимального варіанта рішення можна виконувати за допомогою критерію

X₀={X_i0XX_i0= X_i}, (1)

тобто множина X₀ оптимальних варіантів складається з варіантів X_i0, які входять до множини X всіх варіантів рішення, і оцінка X_i0 максимальна серед всіх X_i.

Вибір оптимального варіанта рішення за критерієм (1) не є, в загальному випадку, однозначним, оскільки X_i може досягатися в множині всіх результатів багаторазово. Однак вибір одного з декількох однаково сприятливих рішень труднощів не становить.

Розглянутий випадок прийняття рішень, коли кожному варіанту рішення відповідає єдиний результат (єдиний зовнішній стан), є найпростішим і окремим випадком. У більш складних випадках кожному допустимому рішенню X_i внаслідок різних зовнішніх умов F_j можуть відповідати і різні результати X_ij.

Наприклад, для підготовки атаки потрібно завдати вогневого удару по противнику різними засобами вогневого ураження за наявності цих засобів і необхідної кількості боєприпасів.

У цьому випадку варіантами рішень можуть бути:

X₁ – вибір вогневих засобів з розрахунку завдання противнику максимальних втрат при достатньо великій кількості боєприпасів;

X_n – вибір вогневих засобів і кількості боєприпасів з розрахунку завдання противнику хоча б мінімальних втрат при обмеженій кількості боєприпасів;

X_i – проміжні рішення;

F₁ – умови, що забезпечують завдання противнику максимальних втрат;

F_m – умови, що забезпечують завдання противнику мінімальних втрат;

F_j – проміжні умови.

Під результатом рішення X_ij будемо розуміти оцінку, яка відповідає варіанту рішення X_i і умовам F_j. Тоді множину рішень можна описати деякою матрицею розмірності nm (табл. 1).

Якщо зовнішні умови F_j і результати рішень (дій) X_ij відомі, тобто про них є повна інформація, задача прийняття рішення зводиться до задачі прийняття рішення в умовах визначеності.

Таблиця 1

Умови	F1	F2	...	Fj	...	Fm
Варіанти рішення
X1	X11	X12	...	X1j	...	X1m
...	...	...	...	...	...	...
Xi	Xi1	Xi2	...	Xij	...	Xim
...	...	...	...	...	...	...
Xn	Xn1	Xn2	...	Xnj	...	Xnm

Прийняття рішень в умовах визначеності. Задача дослідження операцій в умовах визначеності, в основному, зводиться до задачі математичного програмування, яка в загальній постановці може бути сформульована таким чином: потрібно визначити n значень керованих змінних X₁, X₂, ..., X_n, які задовольняють m обмеженням (умовам функціонування дослідження операцій)

g_i(X₁, X₂, ..., X_n){ ,  ,=, , }b_i , i=1, 2,..., m (2)

та максимізують чи мінімізують функцію

W=W(X₁, X₂, ..., X_n). (3)

Умови (2) називаються обмеженнями. Функція (3) є цільовою функцією, а b_i – заданими константами. Цілочисельні величини m та n між собою не зв’язані і можуть приймати довільні значення.

В таких умовах приймається оптимальне рішення. Воно якраз і відповідає варіанту вибору значень змінних X₁, X₂, ..., X_n, що забезпечують екстремальне значення цільової функції W.

На даний час не існує універсального методу, за допомогою якого можна було б знаходити рішення задачі математичного програмування в загальному випадку. Однак розроблений цілий ряд методів, які приводять до мети в окремих випадках, коли функції і задовольняють тим чи іншим обмеженням.

Перш за все залежно від типу функцій g_i(X₁, X₂,..., X_n) і W(X₁, X₂,..., X_n) серед задач математичного програмування слід виділити задачі лінійного та нелінійного програмування.

Якщо в (2) і (3):

g_i(X₁, X₂,..., X_n) =  a_ij X_j , i=1, 2,...,m, (4)

W(X₁, X₂,..., X_n ) =  c_j x_j , (5)

a_ij і c_j – відомі константи, то задача програмування називається лінійною.

Будь-яку іншу задачу математичного програмування, в тому числі і таку, де обмеження і цільова функція мають вигляд (4) і (5), але допускається цілочисельність змінних, називають нелінійною. На відміну від задач лінійного програмування, задачі нелінійного програмування вивчені менше.

Лінійне програмування присвячене вивченню методів рішення однойменної задачі, яка є тим окремим випадком задачі математичного програмування, коли усі функції , і = 1, 2, …, m і лінійні. Це найбільш досліджений розділ і для рішення такого типу задач розроблений цілий ряд ефективних методів, алгоритмів і програм.

Нелінійне програмування – самий обширний розділ. В ньому розглядаються однойменні задачі, характерні тим, що хоча б одна з функцій і нелінійна. Залежно від виду функцій та і розроблені методи їх рішення. Серед задач нелінійного програмування найбільш глибоко вивчені задачі опуклого програмування. Це задачі, в результаті рішення яких визначається максимум опуклої (або мінімум увігнутої) функції, заданої на опуклій замкнутій множині.

В свою чергу, серед задач опуклого програмування детально досліджені задачі квадратичного програмування. В результаті рішення таких задач потрібно в загальному випадку знайти максимум (чи мінімум) квадратичної функції при умові, що її змінні задовольняють деякій системі лінійних нерівностей чи лінійних рівнянь або деякій системі, яка одночасно містить лінійні нерівності і рівняння.

Окремими підкласами задач нелінійного програмування є задачі цілочисельного, параметричного і дрібно-лінійного програмування.

В задачах цілочисельного програмування невідомі можуть приймати тільки цілочисельні значення.

В задачах параметричного програмування цільова функція або функції, які визначають область допустимих значень змінних, або те й інше залежать від деяких параметрів.

В задачах дрібно-лінійного програмування цільова функція являє собою відношення двох лінійних функцій, а функції, які визначають область допустимих значень змінних, також є лінійними.

Виділяють також окремі підкласи задач нелінійного програмування – стохастичного і динамічного програмування.

Якщо в цільовій функції або в функціях, які визначають область допустимих значень змінних, містяться випадкові величини, то така задача відноситься до задачі стохастичного програмування.

Задача, у якій процес знаходження рішення є багатоетапним, відноситься до задачі динамічного програмування.

Слід відмітити, що приведена класифікація задач нелінійного програмування не є загальноприйнятою. Задачі стохастичного та динамічного програмування деякі автори відносять до окремих класів задач, незважаючи на цілочисельність змінних деякі задачі вирішуються методами лінійного програмування, тощо. Це у загальному не впливає на суть проблеми. У більшості випадків через складність цільової функції та функцій умов-обмежень задачі для їх рішення потребують комплексного застосування декількох методів математичного програмування. Тому основним при рішенні задач математичного програмування є вибір тих чи інших методів, які у повній мірі відповідають процесу, що формалізується, тобто забезпечити адекватність математичного апарату.