2. Проверка гипотезы о нормальном распределении. Критерий согласия Пирсона.

Проверка гипотезы о предлагаемом законе неизвестного распределения производится при помощи специально подобранной случайной величины – критерия согласия.

Критерий согласия – формализованная процедура сравнения, позволяющая оценить вероятность того, что исследуемый закон распределения не противоречит сделанному предположению о возможности его представления тем или иным видом закона распределения.

Для этого выбирается некоторая величина χ –[хи], являющаяся мерой расхождения исследуемого и теоретического законов распределения и определяется такое χ_α, чтобы Р( χ > χ_α)=α , где α – достаточно малая величина, значения которой устанавливаются в соответствии с условиями задачи.

Если χ > χ_α , то отклонение от теоретического закона распределения считается значительным и предположение о виде закона распределения должны быть отвергнуты; если χ < χ_α ,то отклонение незначительное, т.е исследуемый закон не противоречит представлению о виде.

Критерий Пирсона:

Где – число групп выборок; - объем выборки; - эмпирические частоты (факторы наблюдения); - теоретические частоты (вычисляемые в предположении нормального распределения)

Экзаменационный билет № 2

1. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности, вытекающие из классического определения. Примеры.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой : Р (А) = т/п,

где т — число элементарных исходов, благоприятствую­щих А; п — число вcex возможных элементарных исходов испытания.

Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу.

Свойства:

1. вероятность достоверного события равна 1, т.е если событие достоверно, то все элементарные исходы благоприятствуют событию (m=n и P(A)=1)

2. вероятность невозможного события равна 0,т.е. ни один из элементарных исходов не благоприятствует событию (Р(А)=0)

3. вероятность случайных положительных событий – положительное число от 0 до 1.( 0 <т<п, значит, 0<m/n<1, следовательно 0<P(A)<1

Пример:

Пусть в урне содержится 6 оди­наковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них - красные, 3- синие и 1 - белый. Какова возмож­ность вынуть наудачу из урны цветной шар?

Решение: всего элементарных исходов 6, из них 5 благоприятствуют событию А, следовательно вероятность того, что вытянутый шар окажется цветным равна Р(А)= 5/6- это число дает ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара, которую нужно было найти.

2. Зависимые и независимые св. Корреляционный момент и коэффициент корреляции. Коррелированность и независимость.

Для того чтобы случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X, Y) была равна про­изведению функций распределения составляющих:

F(x,y)=F₁(x)F₂(y).

Необходимость: Пусть X и Y независимы. Тогда события X < х и Y < у независимы, следовательно, вероятность совмещения этих событий равна произведению их вероятностей:

Р(Х < х, Y < у) = Р(Х <х)Р (Y <у), или F(x, y) = F₁(x)F₂(y) Достаточность: Пусть F(x, y) = F₁(x)F₂(y)

Отсюда Р(Х<х, Y<y) = P(X<x)P(Y<y),

т. е. вероятность совмещения событий X < х и У < у равна произведению вероятностей этих событий. Следова­тельно, случайные .величины ХиУ независимы.

Для того чтобы непрерывные случайные величины X и Y были независимыми, необходимой и доста­точно, чтобы плотность совместного распределения си­стемы (X, Y) была равна произведению плотностей рас­пределения составляющих:

f(x, y) =f₁(x)f₂(y)

Для описания системы двух случайных величин кроме математических ожиданий и дисперсий составляю­щих используют и другие характеристики; к их числу относятся корреляционный момент и коэффициент корре­ляции.

Корреляционным моментом μ_xy случайных величин X и Y называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

μ_xy = M{[X-M(X)][Y-M(Y)]}.

Для дискретной С.В:

Для непрерывной с.в.:

« 00

Корреляционный момент служит для характеристики связи между величинами X и Y, если корреляционный момент равен нулю - X и Y независимы; если корреляционный момент не равен нулю, то X и Y — зависимые случайные вели­чины.

По теореме корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y равен нулю.

Коэффициентом корреляции r_ху случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин: r_xy=μ_xy/σ_x σ_y - это безразмерная величина.

Для независимых с.в. X и Y : r_xy=0

Коэф. корреляции показывает тесноту линейной связи между значениями X и Y/

По теореме абсолютная величина корреляционного мо­мента двух случайных величин X и Y не превышает сред­него геометрического их дисперсий

Абсолютная величина коэффициента кор­реляции не превышает единицы:

|r_ху|<1

Две с.в. X и Y называются коррелированными если их корреляционный момент и коэф.корреляции отличен от 0; и некоррелированными - если коэф.корреляции равен 0.

Если с.в коррелированны, то они и зависимы, но если две с.в зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. Иначе из коррелированности следует зависимость, но не наоборот. Из независимости следует некоррелированность, но не наоборот.

Билет № 5.