42. Фрактальная графика. Основные характеристики.

 Фрактальная графика, как и векторная - вычисляемая, но отличается от нее тем, что никакие объекты в памяти компьютера не хранятся. Все изображение строится по уравнению, поэтому ничего, кроме самого уравнения, в памяти хранить не надо.

    Фигура, элементарные части которой повторяют свойства своих родительских структур, называется фрактальной. Простейшим фрактальным объектом является треугольник.

43. Программные средства для работы с фрактальной графикой.

Программные средства для работы с фрактальной графикой пред­назначены для автоматической генерации изображений путем математических расчетов. Создание фрактальной художественной композиции состоит не в рисовании или оформлении, а в програм­мировании. Фрактальную графику редко применяют для создания печатных или электронных документов, но ее часто используют в развлекательных программах.

44. Понятие фрактала. Фрактал Мандельброта.

Фрактал (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковскогоили Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической.

Понятие фрактал было введено Бенуа Мандельбротом в 1975 году [1].

Книга, содержащая его ранние статьи по фракталам и исследования фракталов в финансах, недавно переведена на русский язык [2]. В настоящее время происходит интенсивное изучение моделей финансовой математики, которые основываются на фракталах. В последнее время фракталы стали использовать в задачах компьютерной обработки графической информации, а также для описания работы крупных серверов.

Фрактал — объект, обладающий свойством самоподобия (автомодельности). Это объект, который можно дробить бесконечное число раз, и при этом каждая часть наследует геометрические свойства всего объекта. Достаточно подробную историю фракталов и многие детерминистические алгоритмы их построения можно найти в [5]. Наиболее полной и математически строгой книгой то геометрии и математическому анализу фракталов является [6].

Одни из самых распространенных фракталов — это, так называемые, фракталы вырезающего типа (cut-off). Для их построения берется некоторая геометрическая фигура, из которой вырезаются подобые куски уменьшающего размера. Наиболее известный из таких фракталов, по-видимому, канторово множество. Построение его широко известно, тем не менее, мы напомним это построение. На нулевом шаге построения берется отрезок . Первым шагом отрезок делится на три равные части и средняя часть (интервал с открытыми концами) вырезается. Вторым шагом каждый из оставшихся крайних отрезков делится опять на три равные части и каждая из серединок удаляется. Каждый из полученных на -ом шаге отрезков в свою очередь делится на три части и середина (с открытыми концами) удаляется. Так мы получаем отрезки -го шага. Такой процесс повторяется потенциально до бесконечности. Точки, принадлежащие, невырезанным отрезкам образуют канторово множество.

В математике множество Мандельброта — это фрактал, определённый как множество точек c на комплексной плоскости, для которых итеративная последовательность z₀ = 0 z_n+1 = z_n² + c не уходит на бесконечность.

По сути мы имеем некоторые начальные условния (z₀= 0) и формулу, которая позволяет из шага Nполучить шаг N + 1. Шагов таких может быть стопятьсот. Потому по-хорошему их нужно ограничить. Если за некоторое количество шагов zдалеко не ушло, будем считать, что и не уйдёт.

Из вышенаписанного можно сделать вывод, что фрактал правильно рисовать двумя цветами. Одним цветом точки, принадлежащие фракталу, другим — не пренадлежащие. Но получится не очень красиво. Потому часто фракталы разукрашивают. Самый простой способ — считать число шагов N и чем их больше, тем ярче рисовать текущий пиксель.

45. Геометрические фракталы. Площадные фракталы. Фракталы на основе метода IFS.

Геометрические (конструктивные) фракталы

Фракталы этого типа строятся поэтапно. Сначала изображается основа. Затем некоторые части основы заменяются на фрагмент. На каждом следующем этапе части уже построенной фигуры, аналогичные замененным частям основы, вновь заменяются на фрагмент, взятый в подходящем масштабе. Всякий раз масштаб уменьшается. Когда изменения становятся визуально незаметными, считают, что построенная фигура хорошо приближает фрактал и дает представление о его форме. Для получения самого фрактала нужно бесконечное число этапов. Меняя основу и фрагмент, можно получить много разных геометрических фракталов. Геометрические фракталы хороши тем, что, с одной стороны, являются предметом достаточного серьезного научного изучения, а с другой стороны, их можно «увидеть» — даже человек, далекий от математики, найдет в них что-то для себя. Такое сочетание редко в современной математике, где все объекты задаются с помощью непонятных слов и символов. Оказывается, многие геометрические фракталы можно нарисовать буквально на листочке бумаги в клетку. Сразу оговоримся, что все получаемые изображения (в том числе и те, что приведены на этом плакате) являются лишь конечными приближениями бесконечных по своей сути фракталов. Но всегда можно нарисовать такое приближение, что глаз не будет различать совсем мелкие детали и наше воображение сможет создать верную картину фрактала. Например, имея достаточно большой лист миллиметровой бумаги и запас свободного времени, можно вручную нарисовать такое точное приближение к ковру Серпинского, что с расстояния в несколько метров невооруженный глаз будет воспринимать его как настоящий фрактал. Компьютер позволит сэкономить время и бумагу и при этом еще увеличить точность рисования.