49, Закон больших чисел. Основные теоремы. Теорема Бернулли. Теорема Пуассона. Условия применимости.

В широком смысле под ЗБЧ понимается свойство устойчивости массовых явлений – средний результат действия большого числа случайных явлений практически перестает быть случайным и может быть предсказан с достаточной определенностью. В узком смысле под ЗБЧ понимают совокупность теорем (Бернулли, Пуассона, Чебышёва, Маркова).

З БЧ: Пусть дана последовательность СВ ξ₁,ξ₂,…,ξ_n,…(1). Рассмотрим СВ η_n, являющуюся некоторой заданной симметрической функцией от первых n величин последовательности (1). Если существует последовательность постоянных а₁,а₂,…,а_n , что при любом ε>0

то говорят, что последовательность (1) подчиняется ЗБЧ с заданными функциями f_n.

Теорема Бернулли: Пусть m – число наступлений события А в серии n независимых испытаний, а p – вероятность наступления события в каждом из испытаний. Тогда для любого ε>0

Теорема Пуассона: m- число наступлений события А в серии n независимых испытаний, а р_i – вероятность наступления события в i-м испытании. Тогда для любого ε>0

50. Центральная предельная теорема и её значение. Теорема Ляпунова.

Все формы центральной предельной теоремы посвящены установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения. Важнейшей является теорема Ляпунова.

Теорема Ляпунова: рассмотрим n независимых СВ Х₁,Х₂,…,Х_n, удовлетворяющих условиям:

1. Конечные М.О. и дисперсии

2. СВ имеют один и тот же закон распределения (ни одна из величин не выделяется резко от остальных по своим значениям). Тогда n→∞ распределение приближается к нормальному закону. Последовательность центрированных и нормированных сумм СВ сходится к стандартному нормальному закону распределения. Следствие из ЦПТ Ляпунова – интегральная теорема Муавра-Хуявра

51. Многомерная СВ. Основные понятия. Двумерные дискретные СВ.

Е сли на пространстве элементарных событий Ω вероятностного пространства {Ω;s;p} определены n СВ ξ_i=f_i(ω), то случайный вектор (ξ₁,ξ₂,…,ξ_n) называется n-мерной СВ.

( ξ;η) – двумерная дискретная СВ, если ξ,η – дискретные СВ.

p_ij=P(ξ=x_i;η=y_j)

ξ и η – независимые, если p_ij=P(ξ=x_i;η=y_j)= Р(ξ=x_i)* Р(η=y_j)

- одномерные маржинальные распределения

У словным распределением СВ Х при условии, что У=у_j называется распределение

52. Многомерная СВ. Основные понятия. Двумерные непрерывные СВ.

Если на пространстве элементарных событий Ω вероятностного пространства {Ω;s;p} определены n СВ ξ_i=f_i(ω), то случайный вектор (ξ₁,ξ₂,…,ξ_n) называется n-мерной СВ.

Двумерная СВ – непрерывная, если её ф-я распределения F(x;y) – непрерывная, дифференцируемая по каждому аргументу и существует 2-я смешанная производная по ху, которая называется совместной плотностью вероятностей f(x;y) непрерывной СВ ХУ. Геометрически f(x;y) представляет собой поверхность распределения в 3мерном пространстве.

53. Функция распределения двумерной СВ и её свойства.

Функция распределения – вероятность совместного выполнения X<x и Y<у

F(x;y)=P(X<x;Y<y) Геометрически – вероятность попадания случайной точки с координатами (Х;У) в квадрант с вершиной (х;у)

Свойства:

1. 0≤F(x;y)≤1

2. Функция распределения не убывающая по каждому аргументу.

3. F(-∞;-∞)=F(-∞;y)=F(x; -∞)=0

F(+∞;+∞)=1 F(x;+∞)=F₁(x) F(+∞;y)=F₂(y), где F₁(x) и F₂(y)-маргинальные распределения

4. Непрерывна по каждому аргументу.

5. Вероятность попадания т. (Х;У) в случайный прямоугольник Р(х₁≤Х≤х₂;у₁≤У≤у₂)=F(x₂;y₂)-F(x₁;y₂)-F(x₂;y₁) + F(x₁;y₁)

54. Функция плотности вероятности двумерной СВ и ее свойства.

Свойства:

1. f(x;y)≥0

2. 

3. Двойной интеграл в бесконечных пределах от f(x;y)=1. Полный объём тела, ограниченного поверхностью f(x;y) и плоскостью Оху = 1

4. Вероятность попадания случайной точки в произвольную область D определяется как двойной интеграл по этой области от плотности и равна объёму цилиндрического тела С, ограниченного сверху f(x;y) и опирающегося на D.

55. Плотности распределения отдельных величин, образующих двумерную СВ. Условный закон распределения одной из одномерных составляющих двумерной величины. Выражение условных плотностей распределения через безусловные.

Условный закон распределения СВ, входящей в систему называется её закон распределения, вычисленный при условии, что другая СВ приняла определенное значение.

56. Условный закон распределения одной из одномерных составляющих двумерной СВ. Теорема умножения плотностей распределения. Выражение условных плотностей распределении через безусловные. Независимость СВ.

Условный закон распределения СВ, входящей в систему называется её закон распределения, вычисленный при условии, что другая СВ приняла определенное значение.

Теорема умножения плотностей распределения:

;

.

Х и У независимы, если условный закон одной из них не зависит от того, какое значение приняла другая.

. Тогда

57. Начальные и центральные моменты порядка k+s двумерной случайной величины. Расчет для дискретных и непрерывных СВ.

Начальный момент порядка k+s двумерной СВ ХУ

Дискретная:

Непрерывная:

Центральный момент порядка k+s

Дискретная:

Непрерывная:

58. Ковариация (корреляционный момент) двух СВ. Её свойства. Связь с МО и дисперсией суммы и произведения СВ.

Ковариация – это центральный момент порядка 1+1 cov(X,Y)=μ₁₊₁(X;Y)

Свойства:

1. Для независимых СВ cov(X;Y)=0

2. cov(X;Y)=M(x;y)-M(x)M(y)

3. |cov(x,y)|≤ σ_x σ_y

59. Коэффициент корреляции и его свойства. Понятие некоррелированных СВ. Связь между коррелированностью/некоррелированностью СВ и их зависимостью/независимостью

Свойства:

1)-1≤ρ≤1

2) Если СВ независимы, их ρ=0. Обратное не верно

3) Если ρ=1 по модулю, то между СВ есть линейная функциональная зависимость.

Случайные величины называются некоррелированными, если ковариация между ними равна нулю (Cov(X,Y)=0). В противном случае (Cov(X,Y)≠0) случайные величины являются коррелированными

Если величины независимы, то они некоррелированы. Однако если величины некоррелированы они могут быть и зависимыми, и не зависимыми

60. Двумерный нормальный закон распределения. Его параметры. Функция плотности вероятности. Теорема о связи между некоррелированностью и независимостью двух нормально распределенных величин

СВ (Х;У) называется распределенной по нормальному закону, если его совместная функция плотности имеет вид.

2мерный нормальный закон определяется 5 параметрами μ_x μ_y σ_x σ_y ρ

cov(x;y)= σ_x σ_y ρ

Теорема. Если две нормально распределенные величины некоррелированы, то они независимы.

Доказательство. Т.к. они некоррел., то ρ=0. Подставим в . Получим . Значит величины независимы. Для нормально распределенных СВ термины некоррелированность и независимость равносильны.