Непрерывность токов проводимости и токов смещения

Докажем математически этот факт, взяв от обеих частей уравнения (1.2) дивергенцию (понятие о дивергенции дано в третьем уравнении Максвелла):

.

Поскольку (у вихря нет истока или стока), то

,

. (1.3)

Физическая сущность уравнения (1.3): линии вектора плотности тока непрерывны, там, где кончаются линии токов проводимости, начинаются линии токов смещения.

Второе уравнение максвелла

Рассмотрим обобщение для любых сред закона электромагнитной индукции (Фарадей, 1831 г), который гласит:

Э ДС (е) электромагнитной индукции в контуре численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока Ф сквозь поверхность, ограниченную этим контуром (рис. 1.13).

. (1.4)

Рис. 1.13

Знак «-» в выражении для е определяется правилом Ленца:

13

Индукционный ток, возникающий в замкнутом контуре под действием ЭДС е электромагнитной индукции, всегда имеет такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшего этот индукционный ток.

Уравнение (1.4) справедливо не только для конкретного проволочного контура, но и для любого мысленно воображаемого контура l, причем можно записать, что

.

Учитывая, что магнитный поток , получим интегральное соотношение

.

На основании теоремы Стокса

.

Сравнивая это выражение с предыдущим,

Рис. 1.14 получим

.

Последнее равенство справедливо для любой поверхности S, ограниченной контуром l (рис. 1.14), поэтому равны и подынтегральные выражения:

. (1.4а)

Это векторное соотношение и представляет собой второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме. Его основной физический смысл: вихрь электрического поля порождает переменное во времени магнитное поле.

Третье уравнение максвелла

Это векторное уравнение представляет собой результат преобразования теоремы Гаусса в дифференциальную форму.

Интегральная форма теоремы Гаусса имеет вид

. (1.5)

Поток вектора электрического смещения сквозь замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов, которые находятся в объеме, ограниченном этой поверхностью.

Применив эту теорему к некоторому элементарному объему V и взяв от обеих частей уравнения (1.5) предел, предварительно разделив обе части на V, получим .

Заметим, что левая часть – это , а правая — объемная плотность заряда . Таким образом, окончательно получим дифференциальную форму соотношения, называемого третьим уравнением Максвелла

. (1.6)

Напомним, что дивергенция (расхождение) вектора – алгебраическая скалярная величина, характеризующая источники поля в рассматриваемой точке.

Численно дивергенцию в данной точке определяют как предел, к которому стремится отношение потока вектора через замкнутую поверхность к объему, ограничиваемому поверхностью, при стремлении этого объема к нулю

15

.

Физический смысл уравнения (1.6). Истоками вектора смещения являются только свободные заряды, а плотность истоков равна объемной плотности зарядов .