4. Элементы комбинаторики (принцип перемещения, перестановки, размещения, сочетания)

-Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Обозначим его U_n. Перестановкой из n элементов называется подмножество, состоящее из n-элементов, выбранных из определенной последовательности U_n.Примеры перестановок:1)распределение n различных должностей среди n человек;2)расположение n различных предметов в одном ряду.Отсюда =n!.Число n(n - 1)(n - 2)...3*2*1, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до n,называется "n-факториал" и обозначается n!. Отсюда P_n =n!

-Размещениями из n элементов по k элементов будем называть упорядоченныеподмножества, состоящие из k элементов, множества U_n - (множества, состоящего из n

элементов). Число размещений из n элементов по k элементов обозначается A_n^k (читается "Аиз n по k").В задачах о размещениях полагается k<n. В случае, если k=n, то легко получитьk=n. Если множество n, есть к, к<n, причем порядок существенен, любой такой выбор – размещение.

-Сочетаниями из n элементов по k элементов называются подмножества, состоящиеиз k элементов множества U_n (множества, состоящего из n элементов).Одно сочетание от другого отличается только составом выбранных элементов (но непорядком их расположения, как у размещений). Есть n, k<n, порядок не важен, - сочетание.

5. Теорема сложения вероятностей («или»)

если A1 и A2 несовместныесобытия, то . Если A1 и A2 — совместные события, то A1UA2 =(A1\ A2)UA2, причем очевидно,что A1\A2 и A2 — несовместные события. Отсюда следует: . Далее очевидно: A1 = (A1\ A2)U(A1∩A2), причем A1\ A2 и A1∩A2 - несовместныесобытия, откуда следует: P(A1) = P(A1\ A2) + P(A1∩A2) Найдем из этой формулывыражение для P(A1\ A2) и подставим его в правую часть формулы (*). В результате

получим формулу сложения вероятностей: . Вероятность появления суммы событий равна сумме вероятности, сумме второй вероятности и разности произведения событий.

6. Условная вероятность, зависимость и независимость события. Умножение вероятностей («и»)

Пусть если событие А и В при условии (P(A/B)) – условной вероятностью А, что В произошло – вероятность, вычесленную при условии, что В произошло.Вероятность совместного появления двух событий = произведению вероятности появления первого события на условную вероятность второго, или наоборот. P(AB) = P(A)*P(B)- безусловные, Aи B – независимы. P(AB) =P(A)(условные)*P(B/A)(условные)=P(A/B) – зависимы. События А и В независимы, если Р(А/B)=P(A);P(B/A)=P(B).

7. Формула полной вероятности

А, одновременно H₁, H₂….H_n – гипотеза. P(A)=P(H₁)*P(A/H₁) + P(H₂)*P(A/H₂) +…+P(H_n)*P(A/H_n). P(H₁) + P(H₂) +…+ P(H_n) = 1

H₁ + H₂ +H₃= Ω(достоверное событие). Эти гипотезы образуют полную группу. H₁,H₂…H_n – образуют полную группу, тогда справедлива формула: P(A)= ∑P(H₁)P(A/ H₁). – смысл полной вероятности.

8. Формула Байеса

А – произошло. P(H_n/A)= – по формуле полной вероятности. P(H₁/A)= ?, P(H₂/A)= ?, P(H₃/A)= ? – неизвестны.

P(A/H₁)= P(A)*P(H₁/A)= P(H₁)*P(A/H₁).

P(H₁/A)= =

Формула Байеса.P(H_j/A)=

9. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли

Рассмотрим случай многократного повторения одного и того же испытания или случайного эксперимента. Результат каждого испытания будем считать не зависящим от того, какой результат наступил в предыдущих испытаниях. В качестве результатов или элементарных исходов каждого отдельного испытания будем различать лишь две возможности: 1) появление некоторого события А; 2) появление события A, (события, являющегося дополнением А). Пусть вероятность P(A) появления события А постоянна и равна p (0<.p<1). Вероятность P(A) события A обозначим через q: P(A) = 1- p=q. Так как испытания независимы, то вероятность P каждого такого результата

определяется путем перемножения вероятностей событий A и A в соответствующих испытаниях. P_n(k)= C_n^Kp^kq^n-k= n!/k!(n-k)! *p^kq^n-k – вероятность наступления события А ровно N-раз в n-испытаний, если вероятность наступления события в одном испытании равна p.q=1-p, n,k–небольшие числа.

ИСПЫТАНИЕ БЕРНУЛЛИ. Наивероятнейшее число появления событий А. А→p, q = 1-p.n- испытаний. 0≤K≤n.

np-q≤m≤np+p

10. Предельный переход для формулы Бернулли

-локальная теорема Лапласа: P_n(m)=1/√npq * Ф(x). X=(m-np)/ √npq, Ф(x) – четная, Ф(-x)=Ф(x). Ф(x>4)=0,n,m – большие числа. Ф(x)= 1/√2П * e^-x2/2, lim√npq* P_n(m) / Ф(x) = 1

P_n(m) = n!/m!(n-m)! * p^mq^n-m- cмысл теоремы.

-интегральная теорема Лапласа: P_n(m₁≤m≤m₂)= Ф(x₂) - Ф(x₁)/ Ф(x)- функция Лапласа. X₁=(m₁ – np) / √npq, x₂= (m₂ – np)/ √npq

Ф(-x)= -Ф(x), Ф(x>4)=0,5.

P_n(m₁≤m≤m₂)=∑n!/m!(n-m)! *p^mq^n-m

P(a≤(m-np)/√npq≤b)= 1/√2П * ∫e^-x2/2dx

11. Теорема Пуассона. Простейший поток событий, его свойства

n→∞, np=a, следовательно, limp_n(k)=a^k/k! * e^-a.

Простейший поток событий: поток событий – последовательность событий, происходящих в случайные моменты времени. Простейший поток – поток, для которого характерны признаки: 1.он стационарен; 2.он должен характеризоваться ординарностью. Если dt→0 , то произойдет 1 событие; 3. Отсутствие после действия.

Если 3 признака выполняются, то характеристика потока: интенсивность – среднее число события в потоке в единицу времени (лямда). P_t(k)= (лямдаt)^k/k! * e-^лямдаt

12. СВ. Закон распределения СВ

СВ – действительная функция Х(w), отображающая Ω в Ω_хR так, что прообразы событий из F_x лежат в F, т.е. являются событиями из F. Это величина, которая в результате единичного испытания принимает единственно возможное значение, не известное заранее. Закон распределения СВ – любое правило, позволяющее нам перечислять все возможные значения СВ и указать вероятности их появления.

Это всякое соотношение, устанавливающее связи между возможными значениями СВ и их вероятностями.

13. ДСВ, их законы распределения

Если Ω_х состоит из счетного числа отдельных элементов, то Ω_хназывают дискретным множеством, а СВ – дискретной. Закон распределения ДСВ удобно задавать с помощью таблицы: под каждым значением СВ пишется вероятность того, что Х приняла это значение. Закон может быть записан в виде ряда распределения или в виде многоугольника. Ряд распределения – таблица, состоящая из строки, включающая все значения, во второй строке – вероятность. Многоугольник: если пересекает ось Х, то это не многоугольник распределения. Функция распределения – вероятность того, что СВ Х принимает значение наперед заданное. F(x)=p(X<x). Ее свойства: не убывающая, F(-∞)=0, F(∞)=1, p(x₁≤X≤x₂)=F(x₂)-F(x₁)

14. Числовые характеристики ДСВ

-Х(среднее значение) = m₁x₁ +….+m_kx_k= x₁*m₁/n + x₂*m₂/n +….+ x_k*m_k/n = ∑x₁*m₁/n;

-limm_i/n = P_i

-мат.ожидание СВ – величина, равная сумме (х) на P их появления от 1 дополнительной. M(x) = ∑x*P_i.

-дисперсия – математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания. Д(х)=∑(x_i - M(x))² * p_i

- среднее квадратическое отклонение – на сколько в среднем отклоняются индивидуальные значения признака отего СВ.

σ(х)= √Д(х)

- вероятность попадданияСВ в интервал

P(a≤x≤b)= F(a)-F(b)

15. НСВ. Их законы распределения.

СВ Х будем называть непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду кроме отдельных точек. Закон распределения НСВ записывается через функцию распределения или плотность вероятности.Теорема: вероятность любого отдельного значения непрерывной СВ равна нулю. Для НСВ справедливо соотношение: p(x₁<X<x₂)=p(x₁≤X≤x₂). Плотность вероятности НСВ Х – функция, определяемая как F^’(x) или предел: lim (F(x+∆x) –F(x))/∆x , следовательно, F(x)= ∫f(t)dt. Дифференцируемый закон распределения наз. F(x).