8.5 Нахождение пределов функций, производных и интегралов

17. Вычислить предел при x∞:

Рекомендации по выполнению

• Откройте панель инструментов Матанализ кнопкой на панели Математика.

• Нажмите кнопку [Предел] панели Матанализ.

• В помеченных позициях введите выражение предельной точки и допредельной функции (для набора знака квадратного корня нужно воспользоваться соответствующей кнопкой панели Арифметика).

• Выделите все выражение линиями ввода и нажмите кнопку [Символический знак равенства] панели символьных операций Символы.

• Щелкните вне выделяющей рамки и получите результат:

18. Вычислить предел при x0

Рекомендации по выполнению

• Нажмите кнопку [Предел] панели Матанализ.

• В помеченных позициях введите нужное выражение, нажмите [Символический знак равенства] на панели Символы и получите результат:

19. Вычислить определенный интеграл

Рекомендации по выполнению

• Нажмите кнопку [Определенный интеграл] на панели Матанализ.

• В помеченных позициях введите нужное выражение и пределы интегрирования 0 и 2, после чего нажмите клавишу [=] или кнопку на панели Арифметика (не путать с кнопкой присваивания!)

20. Вычислить неопределенный интеграл

Рекомендации по выполнению

• Нажмите кнопку [Неопределенный интеграл] на панели Матанализ.

• В помеченных позициях введите нужное выражение, нажмите [Символический знак равенства] на панели Символы и получите результат:

21. Вычислить первую и вторую производные функции

sin(3x² + 2x)

Рекомендации по выполнению

• Введите выражение sin(3x² + 2x).

• Выделите переменную х в выражении и выполите команду Символы/Переменная /Дифференциалы. Для нахождения второй производной выделите переменную х в полученном результате дифференцирования и повторно выполните ту же команду:

22. Отобразить графически функцию издержек производства y(x) и функцию предельных издержек p(x), а также вычислить значения издержек при объеме продукции 3 ед., если зависимость между издержками производства y и объемом выпускаемой продукции x выражается функцией y(x)=70·x–2·x³.

 Если дана функция издержек, то предельные издержки будут задаваться производной этой функции. Ее экономический смысл – издержки на производство дополнительной единицы выпускаемого товара.

Рекомендации по выполнению

• Введите заданную функцию издержек y(x):

• Определите функцию предельных издержек p(x) как производную функции y(x) с помощью кнопки [Производная] панели инструментов Матанализ.

• Найдите символьное значение функции р(х). Для этого выделите рамкой правую часть выражения, нажмите кнопку символического знака равенства на панели Символы и получите результат:

• Постройте график функции издержек y(x) и предельных издержек p(x) на одной координатной плоскости. Для этого при построении графика ось абсцисс обозначьте именем аргумента x, а ось ординат – именами функций y(x), p(x) через запятую.

• Установите параметры отображения графика: Стиль осей графика – Пересечение, Толщина – 2. На полученном графике укажите диапазон оси ординат (-200,200). В результате получите график, представленный на рис. 8.4.

Рис. 8.4 График функций издержек и предельных издержек

• Задайте переменой х значение 3 и вычислите значения функций y(x) и p(x):

• Сохраните файл Математика.

23. Представить преподавателю результаты работы в папке Mathcad с файлом Математика.

Задания для самостоятельной работы

1. Построить в одной координатной плоскости на промежутке от 0 до 10 с шагом 0.01 графики двух функций

2. Вычислить неопределенные интегралы

dx dx

3. Вычислить пределы

4. Вычислить определитель матрицы А, найти обратную и транспонированную матрицу.

5. Определить накопленную сумму, если в банке размещен вклад размером 5 млн. руб. на 2 года с ежемесячным начислением 20% годовых.

6. Решить систему линейных уравнений с помощью блока Given/Find при начальных приближениях: x = 0; y = 1.

Контрольные вопросы

1. Какие основные элементы интерфейса характерны для MathСad?

2. Что нужно сделать для того, чтобы построить график функций, заданный в декартовых координатах в MathСad?

3. Как выполняется порядок вычисления в MathСad?

4. Какие кнопки на панели Матанализ предназначены для вычисления пределов?

5. Как осуществляется вычисление предела в MathСad?

6. Что нужно для того, чтобы найти производную в MathСad?

7. Что нужно для того, чтобы найти определённый и неопределённый интеграл в MathСad?

8. Какие панели инструментов используются при работе с векторами и матрицами в MathСad?

9. Как можно в MathСad найти корни уравнения?

10. Какую структуру имеет вычислительный блок для решения уравнений и систем алгебраических уравнений Given/Find в MathСad?

Индивидуальные задания

Индивидуальнее задания по теме «Пакеты для математической обработки данных» состоит из нескольких задач, взятых из различных разделов курса высшей математики [Сборник задач и упражнений по высшей математике. Для студентов экономических специальностей части 1и 2 . Мн.: БГЭУ, 2008/2009].

1. Построить график функции на заданном промежутке с определенным шагом.

2. Найти достаточно сложное выражение и выполнить символьное преобразование этого выражения (упростить).

3. Для двух произвольных матриц размерности 3х3 выполнить операции сложения, умножения и вычитания. Для каждой матрицы найти определитель, обратную и транспонированную матрицу.

4. Составить систему из трех линейных уравнений. Решить эту систему методом обратной матрицы.

5. Найти и записать функцию одной переменной. Найти первую и вторую производные, а также интеграл этой функции.

6. Вычислить пределы для двух функций.

7. Составить дифференциальное уравнение или систему дифференциальных уравнений, решить их.