3.1.4 Характеристики смо
Перечень характеристик систем массового обслуживания можно представить следующим образом:
среднее время обслуживания;
среднее время ожидания в очереди;
среднее время пребывания в СМО;
средняя длина очереди;
среднее число заявок в СМО;
количество каналов обслуживания;
интенсивность входного потока заявок;
интенсивность обслуживания;
интенсивность нагрузки;
коэффициент нагрузки;
относительная пропускная способность;
абсолютная пропускная способность;
доля времени простоя СМО;
доля обслуженных заявок;
доля потерянных заявок;
среднее число занятых каналов;
среднее число свободных каналов;
коэффициент загрузки каналов;
среднее время простоя каналов.
3.1.5 Теоретическое представление задачи
Интенсивность поступления заявок входного потока - . Интенсивность обслуживания заявок системой - ?. Поток поступления заявок характеризуется распределением Эрланга с k=2, поток обслуживания заявок характеризуются показательным законом распределения. Тогда интервал времени поступления заявок 1-го потока представляет собой случайную величину с одним и тем же распределением вероятностей F (t).
, (1) где 0 – постоянная.
Плотность распределения показательного закона задается формулой:
где >0, - интенсивность поступления заявок.
Аналогично, интервал времени обслуживания заявок представляет собой случайную величину с одним и тем же распределением вероятностей F(t).
, (1) где ? 0 – постоянная.
Плотность распределения показательного закона задается формулой:
где ? >0, - интенсивность обработки заявок системой.
3.2 Q-схемы
3.2.1 Непрерывно-стохастические модели (q-схемы).
К этому классу моделей относятся системы и сети массового обслуживания.
Математические модели этого класса используются для формализации процессов функционирования систем, которые по своей сути являются процессами обслуживания.
В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем, например:
потоки поставок продукции некоторому предприятию,
потоки деталей и комплектующих изделий на сборочном конвейере цеха,
транспортные потоки,
заявки на обработку информации ЭВМ от удаленных терминалов (информационные потоки),
обслуживание задач в ВС,
обслуживание покупателей в магазине.
Акт обслуживания состоит из двух составляющих: ожидание обслуживания заявки и собственно обслуживание заявки. Система массового обслуживания или прибор обслуживания состоит из двух элементов:
накопителя, в котором заявки ожидают обслуживания;
канала обслуживания, в котором выполняется действие обслуживания заявки.
ЗАЯВКА - объект, обслуживаемый в приборе (которому выделяются ресурсы (канал)).
В НАКОПИТЕЛЕ заявки ожидают обслуживания. В нем может находиться сразу несколько заявок.
КАНАЛ - объект, выполняющий действие обслуживания. В канале может обслуживаться не более одной заявки.
ПОТОК событий детерминированная или стохастическая последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени.
Поток событий называется ОДНОРОДНЫМ, если он характеризуется только моментами поступления этих событий
{tc}={t1,t2,...,tn...}.
Однородный поток событий также может быть задан в виде последовательности промежутков времени между n-м и (n-1)-м событиями tn.
Поток событий называется НЕОДНОРОДНЫМ, если он характеризуется не только моментами наступления событий, но и их параметрами, т.е. {tn, fn}, где tn - вызывающие моменты, fn - набор признаков события.
Например, для неоднородного потока заявок может быть задана принадлежность к тому или иному источнику заявок, наличие приоритета, возможность обслуживания тем или иным типом канала и т.п.
Поток с ОГРАНИЧЕННЫМ ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ - это поток, в котором интервалы между наступлениями событий dt1, dt2, ... , dtn являются случайными независимыми величинами.
Поток называется ОРДИНАРНЫМ, если вероятность Рndt того, что на малый интервал времени dt, примыкающий к моменту t, попадает больше одного события (n>1), пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью P1dt того, что на интервал времени dt попадает ровно одно событие
P1dt >> Pndt
СТАЦИОНАРНЫЙ поток событий - поток, для которого вероятность появления того или иного числа событий на интервале времени dT зависит лишь от величины этого интервала и не зависит от того, где на оси времени (0,t) взят этот участок.
То есть, если dT1 = dT2, то Рndt1 = Рndt2.
Поток событий называется потоком БЕЗ ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ,если для любых двух непересекающихся интервалов времени dt1 и dt2, число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой.
Поток называется ПРОСТЕЙШИМ (или стационарным пуассоновским), если он является стационарным, ординарным и не имеет последействия одновременно.
У простейшего потока интервалы времени τ между двумя последовательными заявками – независимые случайные величины с функцией распределения
.
Такое распределение называется экспоненциальным (показательным) и имеет и имеет плотность
.
СМО характеризуется СОСТОЯНИЯМИ Zi, которое является совокупностью состояний накопителя ZiH и канала ZiK:
Zi = (ZiH, ZiK ).
Накопитель может принимать следующие состояния ZiH:
ZiH = 0 - накопитель пуст;
ZiH = 1 - в накопителе одна заявка;
...
ZiH = N - в накопителе N заявок, накопитель полон, однако это возможно для конечных накопителей. Для бесконечных
ZiH = .
Канал может принимать следующие состояния ZiK:
ZiK = 0 - канал свободен, заявки не обслуживаются;