18. Дайте определения линейных операций над векторами, перечислите их свойства. Сформулируйте правила выполнения линейных операций над векторами в координатной форме.

Линейные операции над векторами:

1. Сложение векторов можно выполнить 2-мя способами:

• По правилам треугольника:

Для того чтобы сложить два вектора a⃗  и b⃗  нужно переместить вектор b⃗  параллельно самому себе так, чтобы его начало совпадало с концом вектора a⃗  . Тогда их суммой будет вектор c⃗ , начало которого совпадает с началом вектора a⃗ , а конец — с концом вектора b⃗ .

• По правилам параллелограмма:

Для того чтобы сложить два вектора a⃗  и b⃗ нужно переместить их параллельно самим себе так, чтобы начала векторов a⃗  и b⃗  находились в одной точке. Затем построить параллелограмм, сторонами которого будут эти вектора. Тогда суммой a⃗ +b⃗  будет вектор c⃗ , начало которого совпадает с общим началом векторов, а конец — с противоположной вершиной параллелограмма.

2. Разность двух векторов a и b называется такой вектор d в сумме с которым b даёт a.

Чтобы из вектора а вычесть вектор b надо к вектору а прибавить вектор, противоположный вектору b. Полученный в результате этой операции вектор с и будет являться разностью векторов а и b. 

a-b=d если a-b=a

3. Умножение вектора a на число a, называется вектор b=αa который удовлетворяет двум условиям:

1. (b)=|α|*(a)

2. Векторы a и b одинаково направлены если α>0 и противоположно направлены если α<0.

19. Дайте определение скалярного произведения векторов, назовите его свойства и механический смысл. Сформулируйте правило вычисления скалярного произведение в координатной форме.

Скалярное произведение двух векторов это произведение векторов a и b на Cos угла между ними.

Свойства скалярного произведения:

Переместительное свойство умножения -

Распределительное свойство произведения -

α·(a·b)=(α·a)·b=a·(α·b)

Механический смысл скалярного произведения:

Работа A постоянной силы F действующей на материальную точку при её перемещении в точку S.

A=F·S

Правило вычисления скалярного произведения в координатной форме.

.    

20. Дайте определения линейной комбинации векторов, линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. Сформулируйте теоремы о линейной зависимости и линейной независимости векторов.

Линейная комбинация векторов – это вектор представленный в виде x = α_ia_i +... + α_na_n, где коэффициенты α_i — произвольные числа; a_i — рассматриваемые векторы (i = 1, ..., n).

Линейная зависимость векторов – проявляется если существует такая линейная комбинация, при не равных нулю одновременно a_i , т.е.

Линейная независимость векторов – проявляется если существует такая линейная комбинация, при a_i =0.

Теорема о линейной независимости.

Строчки ступенчатой матрицы   без нулевых строк линейно независимы.

Теорема о линейной зависимости.

Если система векторов   линейно выражается через систему векторов    _и  , то система векторов    линейно зависима. (Образно говоря, если «длинная» система векторов линейно выражается через «короткую», то «длинная» система векторов линейно зависима.)