4) Определение коэффициентов уравнения регрессии производят методом наименьших квадратов (мнк) с помощью эвм. Исходными данными являются:

• -массив экспериментальных данных X_ij , Y_ij , где i=1…N – номер опыта, j=1…n – номер повторного измерения в i-том опыте;

• -вид модели.

Массив должен быть предварительно очищен от промахов.

МНК дает возможность рассчитать коэффициенты a₀ … a_n линейной зависимости

Y=a₀+a₁x₁+a₂x₂+ …. +a_kx_k

Если искомая зависимость не является линейной, ее нужно привести к линейной заменой переменных. Например, зависимость

Y=a₀+ a₁x + a₂ln(x)

Приводится к виду: Y=a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ заменой переменных: x₁=x, x₂=ln(x)

Поиск аппроксимирующей зависимости по МНК производится по принципу минимизации суммы квадратов отклонений экспериментальных значений от расчетных:

N – число опытов;

y_i – центр распределения в i – том опыте;

f(x_i) – расчетное значение отклика по аппроксимирующей функции.

5,17) Проверку адекватности модели при наличии случайных погрешностей измерения принято производить по критерию Фишера или, что то же, по f - критерию:

где S²_ад - дисперсия адекватности;

S²_воспр -дисперсия воспроизводимости.

О ценка дисперсии воспроизводимости вычисляется на основе экспериментальных данных по формуле: где y_0q -экспериментально полученное значение отклика в результате q-того

повторного измерения в центре плана, т.е. при x_i = x_i0; _

-среднее арифметическое значение результатов всех повторных измерений в центре плана;

n - количество опытов в центре плана;

n-1 - количество степеней свободы для дисперсии воспроизводимости.

Оценка дисперсии адекватности вычисляется по формуле:

y _{i расч} -значения отклика, полученные расчетным путем по уравнению модели (по аппроксимирующей функции);

_

y _{i эксп} - среднее значения функции отклика, полученное экспериментально в i -том опыте;

N -количество опытов;

m -количество членов в уравнении регрессии, включая a₀;

N-m - количество степеней свободы для дисперсии адекватности.

Гипотеза об адекватности модели принимается в том случае, если рассчитанное значение F критерия не превышает табличного для выбранного уровня доверительной вероятности и степеней свободы числителя и знаменателя, т.е. при условии: F_расч <= F _табл

6)Определение центров распределения

При определении центра распределения наиболее часто используются 5 различных оценок [5]. Выбор той или иной оценки определяется характером закона распределения ошибки и наличием или отсутствием неустраненных промахов.

Часто встречающиеся законы распределения: нормальный, равномерный, двухмодальный, экспоненциальный (Рис. 7).

Нормальный Равномерный Двухмодальный Экпоненциальный

Рис. 1

Основные правила выбора.

Для распределений, близких к нормальному (контрэксцесс близок к 0.577), и при отсутствии промахов эффективна оценка в виде среднеарифметического значения

Оценка чувствительна к промахам.

для защиты от не устраненных промахов вычисляется

после исключения из вариационного ряда по 5% наиболее удаленных наблюдений сверху и снизу.

Для ограниченных распределений (типа равномерного) и при отсутствии промахов эффективна оценка в виде центра размаха

т .е. полусуммы крайних членов вариационного ряда.Для экспоненциальных распределений (контрэксцесс меньше 0.52) вида

наиболее эффективна оценка центра распределения в виде медианы y_м, т.е. результата измерения, занимающего среднее положение в вариационном ряду. Эта оценка полностью защищена от влияния промахов. Но она неэффективна для двухмодальных распределений.

Для двухмодальных распределений эффективна оценка в виде «центра размаха», определяемая как полусумма 25% и 75% квантилей

Квантилью порядка p называется точка v , в которой функция распределения переходит от значений, меньших p к значениям, большим p.

В случае, когда закон распределения неизвестен, рекомендуется вычислить все 5 оценок и выбрать ту, которая займет среднее положение в вариационном ряду оценок (т.е. после расположения их в порядке возрастания или убывания).

П римечание. В качестве центра распределения нельзя однозначно использовать математическое ожидание хотя бы уже потому, что не для всех законов распределения математическое ожидание существует.

Математическое ожидание определяется как

Для существования M[x] необходимо, чтобы функция p(x) при x   спадала бы круче, чем

В частности, математическое ожидание не может быть вычислено для распределения Коши p(z), где z=x/y, а x и y распределены по нормальному закону

7 ) Обработка результатов однофакторного эксперимента включает 3 этапа: выбор вида аппроксимирующей зависимости, расчет коэффициентов аппроксимирующей зависимости и проверку адекватности полученной зависимости экспериментальным данным. Наиболее совершенным

программным средством для решения данной задачи является пакет программ MATLAB. MATLAB является средой разработки программ обработки данных и, одновременно, содержит большое количество готовых программ, в

частности, программу подгонки кривых СurveFitting.

Программа подгонки кривых CurveFitting предоставляет следующие виды функций для аппроксимации и интерполяции одномерных массивов данных:

а) экспоненциальную;

б)гауссиан

в)Фурье

г)полиномиальную;

д)показательную;

е)рациональную.

Критерием качества подгонки являются вычисляемые программой коэффициенты множественной детерминации (R-square и Adjusted R-square). Коэффициент R-square показывает насколько успешно разброс данных относительно аппроксимирующей кривой может быть объяснен наличием случайных погрешностей в данных. Максимально возможное значение R-square равно 1.

Коэффициент Adjusted R-square характеризует то же самое, но учитывает количество степеней свободы дисперсий воспроизводимости и адекватности. Поэтому Adjusted R-square лучше характеризует степень соответствия экспериментальных данных аппроксимирующей кривой в том случае, если мы увеличиваем степень аппроксимирующего полинома и хотим проверить,

происходит ли при этом улучшение качества подгонки. . Максимально возможное значение Adjusted R-square также равно 1.

SSE – sum square error SST – sum square total

2. Окончательный выбор самой лучшей аппроксимирующей зависимости – выбрать самую простую модель из лучших с условием примерно тех же значений диапазона погрешностей экспериментальных данных от аппроксимирующей кривой и RMSE (Root Mean Squared Error)

Всегда желательно уменьшить, по возможности, погрешности измерения. Основные способы:

- использование измерительной аппаратуры, имеющей более высокую точность измерения, меньший уровень шумов и помех:

- экранирование источников помех и измерительной аппаратуры;

- использование частотной и временной фильтрации.

8) Учет случайной составляющей погрешности производится путем статистической обработки результатов повторных измерений.

В результате статистической обработки:

- производится оценка центров распределения в каждом опыте;

-производится оценка величины случайной составляющей погрешности и доверительного интервала погрешности;

-выявляются и устраняются промахи.

Определение центров распределения

При определении центра распределения наиболее часто используются 5 различных оценок. Выбор той или иной оценки определяется характером закона распределения ошибки и наличием или отсутствием не устраненных промахов. Часто встречающиеся законы распределения: нормальный, равномерный, двухмодальный, экспоненциальный

Основные правила выбора.

Для распределений, близких к нормальному (контрэксцесс близок к 0.577), и при отсутствии промахов эффективна оценка в виде среднеарифметического значения

Оценка чувствительна к промахам.

для защиты от не устраненных промахов вычисляется yсреднее по 90% наблюдений после исключения из вариационного ряда по 5% наиболее удаленных наблюдений сверху и снизу.

Для ограниченных распределений (типа равномерного) и при отсутствии промахов эффективна оценка в виде центра размаха

т.е. полусуммы крайних членов вариационного ряда.

Для экспоненциальных распределений (контрэксцесс меньше 0.52) наиболее эффективна оценка центра распределения в виде медианы, т.е. результата измерения, занимающего среднее положение в вариационном ряду. Эта оценка полностью защищена от влияния промахов. Но она неэффективна для двухмодальных распределений.

Для двухмодальных распределений эффективна оценка в виде «центра размаха», определяемая как полусумма 25% и 75% квантилей

Квантилью порядка p называется точка v , в которой функция распределения переходит от значений, меньших p к значениям, большим p.

В случае, когда закон распределения неизвестен, рекомендуется вычислить все 5 оценок и выбрать ту, которая займет среднее положение в вариационном ряду оценок (т.е. после расположения их в порядке возрастания или убывания).