7.Теорема о связи функции, её предела и бесконечно малой функции.

8/9.Неопределенности. Способы раскрытия [0/0],[ ]

Перечислим все основные виды неопределенностей: ноль делить на ноль   (0 на 0), бесконечность делить на бесконечность  , ноль умножить на бесконечность  , бесконечность минус бесконечность  , единица в степени бесконечность  , ноль в степени ноль  , бесконечность в степени ноль  .

Для раскрытия неопределённостей типа   используется следующий алгоритм:

1. Выявление старшей степени переменной;

2. Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа   существует следующий алгоритм:

1. Разложение на множители числителя и знаменателя;

2. Сокращение дроби.

10.Эквивалентные бесконечно малые и их использование при вычислении пределов.

Определение

Если  , то бесконечно малые величины   и   называются эквивалентными ( ).

Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.

При   справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из так называемых замечательных пределов):

• 

• 

• 

• 

• , где  ;

• 

• , где  ;

• 

• 

• , поэтому используют выражение:

, где  .

Пример решения, заменой экв.:

Найти  .

Решение:

Т.к.   и   при  , то:

11.Теоремы об эквивалентных бесконечно малых функциях

12.Первый и второй замечательные пределы. Первый замечательный предел

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы   и   и докажем, что они равны 1.

Пусть  . Отложим этот угол на единичной окружности ( ).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке  . Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

 (1)

(где   — площадь сектора  )

(из  :  )

Подставляя в (1), получим:

Так как при  :

Умножаем на  :

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

• 

• 

• 

• 

Доказательства

Второй замечательный предел:

13.Таблица экв.бесконечно малых. Вывод соотношений

14. Таблица экв.бесконечно малых. Вывод соотношений ,

15.Сравнение б.м..Таблица экв. Б. м.

См. предыдущ. Билеты!

16. Непрерывность функции. Точки разрыва функции и их классификации.

Пусть функция   определена в точке   и в некоторой окрестности этой точки. Функция   называется непрерывной в точке  , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.  .

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва.

Классификация точек разрыва:

17. Свойства функций, непрерывных на отрезке (теоремы Вейерштрасса и Больцано – Коши)

Функция f(x) называется непрерывной на интервале (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на интервале (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Теорема 1(Вейрштрасса). Функция, непрерывная на отрезке [a, b], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.

Т еорема утверждает, что если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то найдётся хотя бы одна точка x₁  [a, b] такая, что значение функции f(x) в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: f(x₁) ≥ f(x). Аналогично найдётся такая точка x₂, в которой значение функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке: f(x₁) ≤ f(x).

Ясно, что таких точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что функция f(x) принимает наименьшее значение в двух точках x₂ и x₂'.

Замечание. Утверждение теоремы можно стать неверным, если рассмотреть значение функции на интервале (a, b). Действительно, если рассмотреть функцию y = x на (0, 2), то она непрерывна на этом интервале, но не достигает в нём ни наибольшего, ни наименьшего значений: она достигает этих значений на концах интервала, но концы не принадлежат нашей области.

Также теорема перестаёт быть верной для разрывных функций. Приведите пример.

Следствие. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2(Коши). Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка [a, b] найдется, по крайней мере, одна точка x = C, в которой функция обращается в ноль: f(C) = 0, где a < C< b Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если точки графика непрерывной функции y = f(x), соответствующие концам отрезка [a, b] лежат по разные стороны от оси Ox, то этот график хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось Ox. Разрывные функции этим свойством могут не обладать. Эта теорема допускает следующее обобщение. Теорема 3 (теорема о промежуточных значениях). Пусть функцияy = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) = A, f(b) = B. Тогда для любого числа C, заключённого между A и B, найдётся внутри этого отрезка такая точка CÎ [a, b], что f(c) = C. Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции y = f(x). Пусть f(a) = A, f(b) = B. Тогда любая прямая y = C, где C – любое число, заключённое между A и B, пересечёт график функции, по крайней мере, в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением x = C, при котором f(c) = C. Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности: Следствие. Если функция y = f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает, по крайней мере, один раз любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями.