2.Теория эксперимента. Классификация подобий. Теорема Ньютона-Бертрана.

p-теорема. Коэффициент подобия. Необходимые и достаточные условия подобия объектов

классификация подобий:

. В зависимости от полноты учета параметров различают:

абсолютное (теоретическое) подобие, которое предполагает пропорциональное соответствие значений всех параметров данных объектов,

p_j(t) / r_j(t) = m_j(t), где j=1,n;

практическое подобие - определенное функциональное взаимно однозначное соответствие параметров и показателей определенного подмножества свойств, существенных для данного исследования;

практическое полное подобие - соответствие показателей и параметров выделенных свойств во времени и пространстве;

практически не полное подобие - соответствие параметров и выделенных свойств показателей только во времени, или только в пространстве;

практическое приближенное подобие - соответствие выделенных параметров и показателей с определенными допущениями и приближениями.

По адекватности природы объектов различают:

физическое подобие, предполагающее адекватность физической природы объектов (частными случаями физического подобия являются механическое, электрическое и химическое подобия объектов);

математическое подобие, предполагающее адекватность формального описания свойств объектов (частными случаями математического подобия являются статистическое, алгоритмическое, структурное и графическое подобие показателей свойств объектов).

Проблема определения подобных объектов состоит в выборе научно обоснованных критериев подобия и в разработке методов расчета этих критериев.

Изучению проблемы подобия объектов посвящена теория подобия. В рамках этой теории установлены три основных теоремы о подобии объектов, определяющие необходимые и достаточные условия подобия (критерии подобия).

Теорема I./Ньютона-Бертрана/ Подобные объекты имеют числено равные коэффициенты подобия (в теории подобия они называются критериями подобия), образованные из определенных сочетаний размерностей соответствующих параметров.

Чаще всего коэффициенты подобия представляют собой степенные комплексы размерностей, полученных из отношений (размерностей) параметров, учитываемых при описании объектов.

Например. Переходный процесс в электрическом контуре может быть описан следующим дифференциальным уравнением:

du_с /dt + u_R - E = 0.

Электрический контур с параметрами R, C, E, t, u_с.

Параметрами этого процесса являются: R, C, E, u_с, t.. Из данного уравнения путем определенных преобразований получают следующие коэффициенты подобия:

p₁ = RC/ t= R¹ C¹ t^-1 uc⁰ E⁰, (контур разомкнут)

p₂ = E/uc = E¹ uc^-1 R⁰ C⁰ t⁰ , (контур замкнут)

Коэффициенты подобия являются безразмерными величинами. Их значения одинаковы для любых наборов значений параметров электрического контура данного вида, т.е. для всех подобных электрических контуров с заданной схемой и номенклатурой параметров, взаимосвязанных приведенным выше дифференциальным уравнением.

Теорема II./p-теорема/ Всякое уравнение физического процесса

F(p₁, ... , p_n)= 0,

записанное в определенной системе единиц измерений, может быть представлено в виде соответствующего уравнения

F’(p₁, ... , p_m) = 0

между коэффициентами подобия p₁, ... , p_m, полученными из параметров p₁ ,...,p_n , задействованных в исходном уравнении F(p₁, ... , p_n-k)= 0.

Для примера с электрическим контуром это уравнение имеет вид:

1+ p 1 - p 2 = 0.

Теорема говорит о том, что множество описаний подобных объектов можно привести к единому уравнению соответствующих коэффициентов подобия.

Все подобные объекты имеют единый математический образ!

Теорема III. Необходимыми и достаточными условиями подобия объектов (оригинала и модели), описываемых однородными уравнениями

F(P₁,...,P_m)= 0

и

F(R₁, ...,R_m)= 0 ,

являются:

• пропорциональность значений параметров P_i / R_i = m_i,

• равенство ( m = k - 1 ) коэффициентов подобия, составленных из данных уравнений, где m - число всех параметров в уравнении, k - число независимых параметров в уравнении,

• соблюдение однозначности начальных условий и не учитываемых, неизменяемых параметров, т.е. соблюдение однозначности условий эксперимента.

Известны также дополнительные условия подобия для сложных объектов. Смысл этих дополнительных условий в следующем.

Два сложных объекта подобны, если подобны все соответствующие элементы этих объектов и подобны функции (или отношения) связывающие данные элементы.

Коэф.подобия

Определение: математическое подобие есть подобие математических выражений (описаний), характеризующих одинаковые свойства объектов, необязательно адекватных по своей материальной природе

Говоря о математическом подобии двух объектов, всегда имеем в виду тождественность математических описаний однородных свойств данных объектов.

В общем виде формулы для определения коэффициентов подобия имеют вид:

где xi ,..., zi - показатели степеней, получаемые из системы уравнений:

решением которой является выражение:

xi = D1 / D, ... , zi = Dk/ D,

где D - определитель системы (1.4), D1,...,Dk - определители, составленные из D заменой соответствующего столбца 1,...,k столбцом свободных членов.

Таким образом, коэффициенты подобия для параметров исследуемого процесса могут быть получены и при отсутствии уравнений, описывающих данный процесс в явном виде. Достаточно иметь набор всех параметров и их размерности.