§7.2 Применение потенциалов для решения задач Дирихле и Неймана. Потенциалы простого и двойного слоев.

Рассмотрим другой способ сведения задач Дирихле и Неймана ИУ 2^го рода, основанный на свойствах потенциалов простого и двойного слоев.

▼ Потенциалами простого и двойного слоев соответственно называют функции:

σ – плотность потенциалов простого слоя, δ – плотность потенциалов двойного слоя. Точка М может располагаться в любом месте пространства, в том числе и на S.

Применение этих потенциалов к решению краевых задач для уравнения Лапласа, основано на том, что функции φ и ψ вне S являются гармоническими δ и σ. Поэтому решение задач Дирихле и Неймана ищут в виде потенциала простого и двойного слоев, а функции σ и δ подбирают так чтобы удовлетворить краевым условиям задачи.

Теорема о потенциале простого слоя.

Теорема: Если вблизи т. Р поверхность S удовлетворяет условиям Ляпунова, а функция σ непрерывна, то:

1). Потенциал φ(M) изменяется по нормали непрерывно, т.е. φ⁺(P)=φ^–(P)

2). Нормальная производная функции φ в граничной точке Р имеет разрыв 1^го рода со скачком σ, т.е.:

3). Предельное значение нормальных производных слева и справа вычисляются по:

Док- во: Опираясь на св-во поверхности S в окрестности Р, а именно в этой окрестности поверхность S должна удовлетворять следующим условиям Ляпунова: поверхность должна иметь в любой точке поверхности касательную. Всякая прямая параллельная нормали n^→ должна пересекать поверхность S только 1 раз. Угол между двумя нормалями в двух точках окрестности Р должен убывать в окрестности этих точек быстрее чем r^δ, 0<δ<1, r – расстояние между точками.

Идея доказательства сводится к виду малой окрестности S в точках Р - ∆S, и

представляет потенциал в виде:

φ₁(M) — непрерывная функция.

Особенности могут содержаться только в φ₂(М). Если выполняется условие теоремы, то φ₂(М) ведет себя на нормали n^→ как потенциал малого диска с постоянной плотностью σ(Р).

Это утвержд-ие явл-ся главной частью теоремы. Потенциал плоского диска с плотностью σ=const легко вычислить:

Из представления φ₂(М) и графика функции следует:

1).

2).

φ(M)=φ₁(M)+φ₂(M)

Подставляя вычисленное значение φ₂ в полное значение φ и вычисляя нормальную производную , устремляя М→Р получим доказательство трех пунктов теоремы.

Замечание: При решении двухмерной краевой задачи для уравнения Лапласа используют логарифмический потенциал простого слоя

св-ва этого потенциала аналогичны рассмотренным в выше доказанной теореме, достаточно заменить

Теорема о потенциале двойного слоя.

Установим св-во для потенциала двойного слоя:

Эти св-ва в некотором смысле противоположны св-вам для потенциала простого слоя.

Теорема: Если S – поверхность Ляпунова, а плотность τ непрерывная функция на ней, то 1). Потенциал ψ(М) имеет в Р разрыв первого рода со скачком τ.

2). Предельное значение потенциала двойного слоя вычисляется из:

3). Нормальная производная потенциала двойного слоя непрерывна на нормали:

Доказательство:

Воспользуемся представлением потенциала двойного слоя в виде:

Выделим в окрестности Р нормаль n^→

S, малый элемент ∆S, и представим потенциал двойного слоя ψ(М) в окрестности в виде:

здесь ψ₁(М) – непрерывна и непрерывно дифференцируема.

Выясним вклад элемента ∆S или функции ψ₂. При выполнении условий теоремы, малый элемент ∆S можно заменить плоским диском с постоянной плотностью τ(Р). Тогда ψ₂ представимо в виде:

Пусть точка М лежит на нормали левее элемента ∆S,тогда:

где Ω_М – телесный угол. При М→Р в этом случае:

Пусть М находится на нормали справа от ∆S,тогда:

При М→Р:

Подставляя вычисленные значения ψ₂ в

и переходя к пределу при ∆S→0 получим первые два пункта теоремы.

Третий пункт. Из последних рисунков видно что ψ₂(М) – антисимметричная (кососимметричная) функция. Поэтому имеет место соотношение:

Замечание: При решении плоских краевых задач для уравнения Лапласа применяют логарифмический потенциал двойного слоя вида:

Его св-ва определяются доказанной выше теоремой.