Аналитическая геометрия.

Возьмём на плоскости произвольную точку О, проведём через неё две взаимно перпендикулярных прямых. Выберем на этих прямых направление.

Выберем единичный отрезок (масштаб) тогда для любой точки М₀ найдём её координаты. Отметим у точки М₀ перпендикуляры на оси. Получим отрезки х₀, у₀ – это и будут координаты. Построим систему координат на плоскости.

В пространстве системы координат строится аналогично, но надо взять 3 взаимно перпендикулярных прямых.

Вопрос № 32.

Деление отрезка в данном отношении.

Надо найти координаты точки С.

По теореме Фимса.

Для нахождения у аналогично.

Теорема Чевы.

Дан треугольник АВС

Проведены отрезки АА, ВВ, СС₁, так, что

Тогда АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекаются в одной точке.

Д-во. Найдём координаты точки.

Найдём координаты точки В₁

Найдём координаты точки С₁

На отрезке АА₁ возьмём точку О₁, которая делит этот отрезок в отношении

Найдём координаты точки О₁

На отрезке ВВ₁. Найдём точку О₂, которая делит отрезок в отношении

Найдём координаты точки О₂

И аналогично О₃. О₁= О₂= О₃. т.е. пересеклись в данной точке.

Вопрос № 33.

Общее уравнение прямой на плоскости.

Теорема. 1) Любая прямая на плоскости задаётся уравнением вида ах+ву+с=0.

2) Любое уравнение вида ах+ву+с=0 задает на плоскости прямую.

Д-во. 1) рассмотрим произвольную прямую х . Точка А₁ не лежит на х

А₁(х₁,у₁)

Точка А₂ симметрична А₁ относительно х.

А₂(х₂,у₂₎

М(х,у) – текущая (произвольная) точка на х.

Тогда прямая х является ГТМ М(х,у), равноудаленных от точек А₁, А₂. (т.е. только точки М(х,у) удовлетворят условию равноудалённости от А₁ и от А₂)

2) Пусть дано уравнение ах+ву+с=0 (1)

Пусть (х₁,у₁) (х₂, у₂) – 2 решение уравнения.

Построим2 точки М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂, у₂).Через эти 2 точки проходит единственная прямая х.

По 1) х имеет уравнение а₁х+в₁у+с₁=0 (2)

Рассмотрим систему

Эта система уже имеет 2 решения (х₁, у₁) и (х₂, у₂). Значит у неё решений бесконечно много.

Т.е. ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы L2, т.е. ранг равен 1. Т.е. уравнения пропорциональны. а=2а₁, в=2в₁, с=2с₁.

Подставим в (1)

Норм. Уравнение. Расстояние от точки до прямой на плоскости

Теорема. Прямая х задана общим уравнением ах+ву+с=0 Тогда вектор

(любой вектор ┴ прямой назовём её нормально)

Д-во. Пусть (х₀,у₀) М₀ – точка на х. Тогда ах₀+ву₀+с=0 – верное числовое равенство.

Отсюда с=-ах₀+ву₀

Рассмотрим Ур-ие х ах+ву-ах₀-ву₀=о

А(х-х₀)+в(у-у₀)=0 (1) (х,у) – координата текущей точки на х.

Тогда(1) – условие перпендикулярности 2-х векторов

Теорема2 Пусть х – прямая ах+ву+с=0, М₀(х₀,у₀) – точка. Тогда рассмотрим от точки М₀до х (d=ρ(M_0,x)) Можно вычислить по формуле

Рассмотрим общее уравнение прямой ах+ву+с=0, поделим обе части на

Нормальное Ур-ие прямой

Теорема. Если в нормальное уравнение прямой подставить координаты (х₀, у₀) точки М₀, то получим ± расстояние от точки М₀ до прямой.

Д-во. Сравнить с d.

Уравнение прямой в отрезках.

Рассмотрим общее уравнение прямой ах+ву+с=0, а≠0, в≠0, с≠0

ах+ву=-с;

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Рассмотрим общее уравнение прямой ах+ву+с=0,в≠0. Выразим у

(1) Уравнение с угловым коэффициентом к.

Пусть (х₀, у₀) точка є х

(2) у₀=кх₀+В – верное числовое равенство.

(1)-(2) у-у₀=к(х-х₀) –уравнение прямой, проходящей через данную точку (х₀,у₀) с данным угловым коэффициентом к.

Геометрический смысл к.

® Уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки.

Опр. Любой вектор, параллельный прямой, или лежащий на прямой, называется её направляющим вектором.

М₀(х₀,у₀)- данная точка. Мєх, М(х₁,у₁)єх – текущая.

- производный вектор, лежащий на х.

Тогда х – ГМТ М(х,у) таких, что коллинеарен из условия коллинеарности.

Запишем уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки.

Рассмотрим прямую, заданную свои каноническим уравнением на плоскости в пространстве.

Вопрос № 34.

Параметрическое уравнение – координатная форма.

Значит, существует число t , что

-параметрическое уравнение – векторная форма.

Вопрос № 35.

Угол между прямыми на плоскости.