Отметим, что производные функции одной переменной называют обыкновенными производными, которые обозначают только индексами сверху:

. Тогда как частные производные обычно обозначают двумя индексами: и т. д.

Дифференциал функции двух аргументов.

Рассмотрим приращение функции двух аргументов:

, т. е. полное приращение функции складывается из суммы частных приращений . Используя результаты о приращении функции одной переменной , получим:

Где - остаточные члены формулы Тейлора для n=1. Если - б/м, то линейная часть приращения является главной частью приращения, а - б/м высшего порядка по отношению к главной части.

Определение:

Главная часть приращения функции двух аргументов f(x,y) называется дифференциалом функции z=f(x,y) обозначается

Здесь учтено, что .

Введем обозначения: Тогда дифференциал функции z=f(x,y) можно записать в виде: По аналогии с функцией одной переменной можно для функции двух аргументов ввести понятие дифференциалов высших порядков:

Чтобы найти удобную формулу для вычисления дифференциалов высших порядков, позволим себе следующее: символы будем считать некоторыми величинами. Т. е. как квадраты этих величин, как произведение на . Тогда функцию z можно позволить себе вынести за скобку. В этом случае второй дифференциал выражается символом:

Теперь можно символически представить дифференциал любого порядка:

Для функции произвольного числа аргументов имеем:

.

Формула Тейлора.

Запишем формулу Тейлора для функции одной переменной:

Используя символику дифференциалов:

где .

Дл функции двух аргументов f(x,y) дифференциалы имеют вид:

Таким образом, формула Тейлора для функции двух аргументов имеет вид:

Применение формулы Тейлора для функции двух аргументов при исследовании функции f(X,y) на экстремум.

Говорят, что точка доставляет функции f(x,y) в окрестности (т. е. на достаточно малом расстоянии от точки ) max – максимум, если для любых значений (x,y) из этой окрестности выполнено неравенство :

f > f(x,y).

В случае выполнения неравенства f < f(x,y), говорят, что в точке достигается минимум (min).

Чтобы определить знак разности f(x,y)- f , рассмотрим фомулу Тейлора:

f(x,y)- f =

Выражение, выделенное в квадратной скобке, есть линейная функция L(x,y), следовательно, в зависимости от х и у , может менять знак. Пусть

(1)

В этом случае знак разности f(x,y)- f зависит от второй квадратной скобки (слагаемые, следующие далее есть б/м более высокого порядка).

Вынесем за скобку величину и обозначим:

Тогда рассматриваемая скобка примет вид:

Рассмотрим все возможные значения трехчлена в зависимости от коэффициентов А, В, С ( ). Как видно, является знако постоянным только при D<0, а именнно:

A D	A>0	A<0
D>0	+ + h “ –“	«+» h “-“ “-“
D=0	h	h
D<0	«+» h	h «-»

Отсюда при выполнении условия (1), являющимся необходимым условием существования экстремума получаем следующие достаточные условия экстремума:

Пусть функция f(x,y) задана в замкнутой области D, т. е. в точках внутри области и на ее границе. Если функция непрерывна, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значения в области D. Чтобы найти эти значения, надо исследовать на экстремум функцию f(x,y) внутри области и на ее границе. Из всех экстремальных точек следует выбрать .

Производная по направлению. Градиент.

Находя частные производные ,мы фактически находим производные вдоль осей координат OX и OY. Пусть требуется найти производную вдоль произвольного направления . Для удобства возьмем =1, тогда = , а уравнения прямой, проходящей через точку параллельно примут вид:

или (2)

Рассмотрим в функцию u=f(x,y,z):

Здесь x,y,z в соотношении (2) - промежуточные аргументы, а t – окончательный аргумент.

Имеем:

, или из (2):

(3)

Формула (3) есть производная функции u=f(x,y,z) по направлению . Равенство (3) можно рассматривать как скалярное произведение векторов и :

. По определению скалярного произведения:

, т. к. по условию =1.

, если , т. е. .

Вектор , вдоль которого производная функции u(x,y,z) имеет наибольшее значение, называется градиентом функции u(x,y,z) и обозначается .

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Понятие определенного интеграла, введенное для функции одной переменной с промежутком интегрирования – отрезком [a; b] , можно обобщить на случай нескольких переменных. При этом области интегрирования в двумерном и трехмерном случае могут быть расположены в плоскости, на кривой, на криволинейной поверхности, занимать некоторый объем в пространстве. Мерой области интегрирования для определенного интеграла являлась длина отрезка [a; b]: mes [a; b]. При обобщениях на случай нескольких переменных за меру области интегрирования будем принимать - площадь плоской области D, площадь криволинейной поверхности S, длина плоской дуги l, объем тела V.

Предварительно введем следующие определения:

1. Диаметром области назовем максимальное расстояние между точками из области и обозначим .

2. Элементы , такие что назовем разбиением области .

3. Максимальный из диаметров , т. е. назовем диаметром области .

4. Выберем внутри каждого элемента произвольным образом по точке в двумерном случае и в трехмерном случае.

5. Множество пар , i=1,…,n назовем размеченным разбиением области .

6. Рассмотрим функцию f(M), где M=M(x, y), либо M=M(x, y, z) на размеченном разбиении . Составим величину , которую назовем интегральной суммой для функции f(M)

Определение: Если существует предел интегральной суммы для любого размеченного разбиения при то этот предел называется интегралом Римана для функции f(M) по области интегрирования и обозначается .

В зависимости от размерности области интегрирования интеграл будем обозначать для отрезка или кривой, для двумерного случая, в трехмерном случае .

Таким образом, можно ввести следующие интегралы:

1. Определенный интеграл , если , изученный ранее.

2. Двойной интеграл , область интегрирования D расположена в координатной плоскости XOY.

3. Криволинейные интегралы I рода.

4. Криволинейные интегралы II рода вводятся для векторных величин .

5. Поверхностные интегралы I рода . Здесь точки (x, y, z) берутся на поверхности S: , z=f(x, y).

6. Поверхностные интегралы II рода вводятся для векторных величин , где вектор направлен по нормали к поверхности S в точке (x, y, z), а длина его численно равна площади элемента ds: .

7. Тройные интегралы .

ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ.

По определению:

= (1)

у D ,

х

На чертеже указана область интегрирования D, разбиение Т области на элементы . Элемент с выбранной в нем точкой - элемент размеченного разбиения . По определению двойного интеграла в равенстве (1) справа предел существует при любом размеченном разбиении . Это значит, что область D можно разбивать на элементы любым способом и произвольно выбирать в них точки . Произведем разбиение области D прямыми, параллельными осям координат.

Y

X

O a b

В начале рассмотрим область D, правильную по отношению к оси ординат. Это значит, что все прямые, параллельные оси OY пересекают область D в двух точках. Пусть при границы области D, определяемые уравнениями и пересекаются прямой в точках , . Двойной интеграл для этой области выразится пределом:

Таким образом, получена формула вычисления двойного интеграла путем сведения его к последовательному вычислению двух определенных интегралов:

(2)

В случае, если область D является правильной по отношению к оси абсцисс ,

Y

y=d

y=c

X

т. е. прямые пересекают границы области D в двух точках (которые могут выродиться в одну точку); то, повторяя предыдущие рассуждения, можно получить следующую формулу:

(3)

В случае, если область D является правильной по отношению к обеим осям, то ее можно разбить (т. е. представить в виде объединения множеств) на несколько областей, правильных по отношению к какой-либо оси и, представив воспользоваться аддитивностью интеграла, которую можно легко доказать. Обозначим для краткости , тогда

Y

D

X

Аналогичным образом можно поступить, если область является правильной, но уравнение границы состоит из кусков графиков различных функций.

Пример1: Записать интеграл в виде повторных интегралов, если область D определена границами:

.

1

1 2

Решение : Изобразив область в системе координат XOY, убеждаемся, что она является правильной как по отношению к оси OX, таки по отношению к оси OY. Заключим область в прямоугольник .

1. . Проводя прямые , видим, что при границы D определяются уравнениями у=0 и , а при - уравнениями у=0 и у=1-х. Поэтому область разбиваем на две: . Тогда

= .

2. . Границы области D внутри этой полосы находим из уравнений , по смыслу . у=1-х х=1-у. Тогда

= .

Правило расстановки пределов интегрирования в повторных интегралах при вычислении двойных интегралов

1. Заключаем область D в прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат и касающимися границ области D. Пусть уравнения сторон прямоугольника x=a; x=b; y=c; y=d, а точки касания прямых с границами соответсвенно A, B, C, D.

2. Проверяем, какие из границ являются правильными по отношению к осям координат(или, что все равно сторонам прямоугольника). Пусть уравнения дуги АСВ , а дуги АЕВ - . Эти функции следует взять в качестве пределов интегрирования у внутреннего интеграла. Границами внешнего интеграла всегда являются числа, определяющие границы полосы, содержащей область D. Двойной интеграл выразится следующим образом:

Вычисление внутреннего интеграла приводит к величине F(x). Осталось вычислить интеграл .

Если область D имеет границы, правильные по отношению коси OY, то, рассуждая аналогичным образом, получим:

Как видно, если переменная интегрирования внутреннего интеграла х, то пределы интеграла – функции с аргументом у и обратно, при переменной интегрирования внутреннего интеграла у его пределами являются функции аргумента х.

Если областью интегрирования является трехмерная областьV, то тройной интеграл можно свести к повторным, повторяя рассуждения при рассмотрении двойного интеграла. Назовем область V правильной по отношению к какой-либо координатной плоскости, если границы области V, являющиеся поверхностями, пересекаются перпендикулярами к этой координатной плоскости не более чем в двух точках .

Z

Y

Х

Для определения такой координатной плоскостью будем считать XOY. Заключим область V в цилиндрическую поверхность, касающуюся поверхности границы области V по некоторой линии. Тогда поверхность, ограничивающая область V будет разбита на две поверхности. Пусть нижняя поверхность имеет уравнение , а верхняя - . Проекции обеих поверхностей на плоскость XOY совпадают и образуют область D. Тройной интеграл в этом случае выразиться в виде:

=

Вычислив внутренний интеграл, получим функцию F(x,y), после этого получим двойной интеграл , который осталось свести к повторным. После этого получим:

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛАХ.

Рассмотрим систему уравнений можно рассматривать в как оси системе координат , а - оси координат в системе . Систему координат можно считать прямоугольной и элемент площади - прямоугольником.

если отображение не является линейным, то оси и границы отображенной области не будут прямолинейными.

Очевидно, в общем случае, величины площадей не будут равны. Рассмотрим вопрос о нахождении элемента объема при переходе от декартовой к произвольной системе координат.

Переходу к новой системе соответствует замена переменных:

Зададим в системе координат точку . Тогда уравнения определят некоторые поверхности, пересекающиеся в точке , а линии их пересечения – осями криволинейной системы координат . Пусть элемент объема в системе координат OXYZ равен dv=dxdydz. Найдем величину элемента объема при отображении . Возьмем приращения от точки вдоль осей до точек А, В и С соответственно. В первом приближении можно считать прямолинейными. Объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, найдем по формуле смешанного произведения:

При перемещении точки О к точке А координаты получат приращения вдоль направления : . Координаты вектора равны . Аналогично имеем , .

Отсюда имеем величину элемента объема в новой системе координат:

dv=

Т. к. в прямоугольной системе координат dv=dxdydz, то переход к новой системе координат, соответствующий замене переменной определится формулой:

где - функциональный определитель Якоби, или якобиан. Рассмотрим некоторые употребительные системы координат.

Цилиндрическая система координат.

Пусть дана точка M(x,y,z) в системе координат OXYZ. Проекция точки в плоскость XOY . В этой плоскости рассмотрим полярную систему координат . , . Координаты точки M(x,y,z)= называют цилиндрическими координатами. Переход от от полярных координат к цилиндрическим определяется формулами:

z

M(x,y,z)

y

x

Найдем якобиан при переходе к цилиндрической системе координат. По смыслу .

Сферическая система координат.

В сферической системе координат вводятся параметры r=OM, удаление точки от начала координат OXYZ; - угол между ОМ и осью z, а для вводят полярные координаты. Т. к. , то

Z

r M(x,y,z)

x

X

y

Y

Найдем якобиан

.

Полярная система координат.