Теорема о движении центра масс

Центром масс или центром инерции системы, состоящей из n материальных точек называется геометрическая точка, положение которой определяется радиус-вектором :

,

где m – масса всей системы.

Координаты центра масс

Из определения радиус-вектора центра масс получим:

.

Продифференцировав по времени полученное выражение, находим выражение для импульса системы материальных точек:

, ,

где, – о скорость центра масс.

Подставим полученное выражение для импульса системы в теорему об изменении импульса механической системы:

, .

где, – ускорение центра масс.

Записанная формула выражает теорему о движении центра масс механической системы материальных точек: главный вектор внешних сил равнее произведению массы системы материальных точек на ускорение ее центра масс.

Импульс материального тела:

Умножим данное уравнение на массу тела:

,

величина есть скорость центра масс.

- радиус вектор центра масс материального тела.

;

Импульс материального тела равен произведению массы материального тела на скорость его центра масс:

.

Отсюда:

, но – ускорение центра масс. Следовательно:

Используя теорему об изменении импульса материального тела:

, где .

– о теорема о движении центра масс: произведение массы материального тела на ускорение его центра масс равно сумме всех внешних сил, действующих на материальное тело.

Если мы имеем систему N материальных тел, то теорема о движении центра масс также справедлива:

, где ; .

Однако радиус-вектор центра масс и главный вектор внешних сил определяется по формулам:

,

Теорема об изменении момента импульса механической системы и закон сохранения момента импульса механической системы.

Рассмотрим вначале систему, состоящую из n материальных точек. Запишем основной закон динамики для каждой точки:

, k=1,2…, n.

Умножим каждое уравнение векторно слева на радиус-вектор каждой материальной точки и после этого сложим полученные уравнения

/

Величина – момент k-ой внешней силы относительно начала системы координат.

Рассмотрим из общего числа какие-либо две материальные точки 1 и 2, для которых:

Вектор направлен из второй точки в первую и образует угол 180⁰ с , поэтому векторное произведение равно нулю. Поскольку точки 1 и 2 выбраны произвольно, то на основании этого запишем:

.

Величину называют главный момент системы внешних сил.

Рассмотрим левую часть соотношения:

.

Величину называют моментом количества движения материальной точки или моментом импульса материальной точки, или кинетическим моментом материальной точки.

В итоге получаем:

Величина - момент импульса или кинетический момент системы материальных точек.

– теорема об изменении момента импульса (кинетического момента) системы материальных точек: производная по времени от момента импульса (кинетического) момента системы материальных точек равна главному моменту системы внешних сил, дествующих на систему материальных точек

Если =0, то =const – закон сохранения момента импульса (кинетического момента) системы материальных точек.

Рассмотрим теперь материальное тело:

, , где – объёмная плотность внешних сил.

Кинетический момент материального тела:

Устремим количество элементов и бесконечности:

;

– теорема об изменении момента импульса (кинетического момента) материального тела.

Если , то – закон сохранения момента импульса (кинетического момента) материального тела.

Если имеется система, состоящая из N материальных тел:

, .

– теорема об изменении момента импульса (кинетического момента) системы материальных тел.

Если , то – закон сохранения момента импульса (кинетического момента) системы материальных тел.