2. Основные понятия теории вероятности. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты.

Относительной частотой события   называют отношение числа испытаний, в которых это событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Относительная частота события   определяется формулой , где   – число испытаний, в которых событие   появилось, а   – общее число фактически произведенных испытаний. Основное отличие вероятности события от относительной частоты: вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту – после опыта. Свойство устойчивости относительной частоты: если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота в этих опытах изменяется мало (тем меньше, чем больше число испытаний), причем она колеблется около некоторого постоянного числа – вероятности появления этого события.

3. Теорема Сложения вероятностей несовместных событий. Полная группа событий. Противоположные события.

Теорема Сложения вероятностей несовместных событий

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий: . 

Докажем теорему сложения вероятностей для схемы случаев. Пусть возможные исходы опыта сводятся к совокупности случаев, которые мы для наглядности изобразим в виде n точек:

Предположим, что из этих случаев   благоприятны событию , а  – событию . Тогда

Так как события   и  несовместимы, то нет таких случаев, которые благоприятны и , и  вместе. Следовательно, событию   благоприятны   случаев и

Подставляя полученные выражения в формулу , получим тождество. Теорема доказана.

Полная группа событий. Теорема. Сумма вероятностей событий А₁ , А₂ , ..., А_n , образующих полную группу, равна единице: Р (A₁) + Р (А₂) + ... + Р (А_n) = 1.

Доказательство:

Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то

Р (A₁ + A₂ + ... + A_n) = 1.     (*)

Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения:

Р (А₁ + А₂ + ... + А_n) = Р (A₁) + Р (A₂) + ... + Р (А_n).    (**)

Сравнивая (*) и (**), получим

Р (А₁) + Р (А₂) + ... + Р (А_n) = 1.

Противоположные события. Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозначать

4. Теорема умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события

Произведение событий. Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А — деталь годная, В — деталь окрашенная, то АВ — деталь годна и окрашена.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если А, В, С — появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то АВС — выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁ , А₂ , ..., А_n , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий Р (A) = 1 — q₁q₂ ... q_n.(*)

Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А₁,А₂, ...,A_n. События А и

(ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна единице: Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим или

Ч а с т н ы й   с л у ч а й. Если события А₁ , А₂ , ..., А_n имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий P (A) = l — qⁿ. (**)