Застосування диференційного числення до дослідження функцій Локальний екстремум

ОЗН х₀ – точка локального максимуму, якщо

Якщо , то максимум строгий.

ОЗН х₀ – точка локального мінімуму, якщо

Якщо , то мінімум строгий.

//

Необхідна умова існування екстремуму:

Достатні умови існування екстремуму:

(max)

(min)

Якщо і , то

За ф. Тейлора:

Якщо , , …, , , то

, де m=2k(парне).

Якщоm=2k+1(непарне), то не т. екстремуму. Якщо , тоді

Опуклі функції

Якщо , і , тоді

Довед.: Розглянемо систему відносно :

Тоді:

Аналогічно .

ОЗН Функція опукла вниз на , якщо

Виконується частковий випадок нерівності Єнсена:

ОЗН Функція строго опукла, якщо нерівність строга.

ОЗН Функція опукла вгору на , якщо

Виконується частковий випадок нерівності Єнсена:

Теорема. Нехай функція диференційована на і опукла вниз / вгору, тоді її похідна неспадна / незростаючана .

Довед.: Нехай функція строго опуклавниз. Доведемо, що строго монотонно зростаюча. Розглянемопохідну вточках , такі, що :

Нехай , тоді

.

ОЗН Нехай на і має різний характер опуклості і , тоді – т. перегину.

Нехай , тоді .

Перевірка на перегин в точці

1. Необхідна умова: .

2. Достатні умови: і .

3. Якщо , то і ; якщо , то і .

Теорема. Диференційована функціїя опукла тоді і тільки тоді, коли її графік лежить по одну сторону від дотичної, проведеної в будь-якій точці.

Загальна нерівність Єнсена

Нехай , , тоді

Функція опукла вниз на , якщо

Функція опукла вгору на , якщо

Перевірка на перегинза ф-лою Тейлора

Якщо і , то:

,

.

Дослідження і побудова графіків

Дано:

1. Будуємо асимптоти.

а) Вертикальна (при )

б) Похила (при , ), де

,

в) Горизонтальна , де

,

Дослідження функцій

1. Знайти область визначення.

2. Якщо і ,то – вертикальна асимптота.

3. Знайти похилі і горизонтальні асимптоти.

4. Дослідити на парність / непарність.

5. Дослідити на періодичність

6. Знайти області знакосталості, нулі функції.

7. Знайти області монотонності, екстремуми функції.

8. Дослідити на опуклість, знайти точки перегину.

Інтегральне числення

Невизначений інтеграл

Нехай задано функцію f(x), і D(f) – відкрита зв'язна множина, тоді функція F(х) називається первісною функції f(x), якщо

(F(x) – диференційована).

Нехай g(x) – теж первісна f(x), тоді

За теоремою Лагранжа:

Висновок: будь-які первісні f(x) відрізняються на константу.

Невизначеним інтегралом деякої функції f(x) називається сукупність всіх її первісних .

– невизначений інтеграл.

Властивості невизначеного інтеграла

1. ;

2. ;

3. Формула інтегрування по частинам:

Оскільки, , то

;

;

4. Формула заміни змінної:

Нехай , , тоді

;

;

Таблиця невизначених інтегралів

1. ;

2. , x > 0;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. 

;

;

;

;

;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

Нехай , тоді .

;

;

;

;

;

;

;