16.7. Дифференцирование функций, заданных параметрически

Кроме того, что функция может быть задана в явном или неявном виде, есть функции, которые можно задать параметрически.

Если зависимость между аргументом x и функцией y задана в виде уравнений

,

где t – вспомогательная переменная, называемая параметром, то говорят, что «функция задана параметрически».

Например, задает линейную функцию , которую можно получить, если из первого уравнения выразить t и подставить во второе.

Теорема 16.5. Пусть функция задана параметрически

,

и функции дифференцируемы в области определения переменной t, тогда

. (16.6.)

Доказательство. Так как задана параметрически, то из первого уравне-ния следует , из второго уравнения следует – сложная функция с промежуточным аргументом t. Тогда по теореме о производной сложной функции и по теореме о производной обратной функции . Отсюда следует, что

. 

Пример 16.8. Пусть . Найти .

Решение. Имеем .

Следовательно, .



В этом можно убедиться, если найти непосредственно зависимость y от x. Действительно, . Тогда . Отсюда , т.е. .

Пример 16.9. Пусть . Найти в точке .

Решение. Используя формулу (16.6.), находим

.

Далее получаем

. 

16.8. Производные высших порядков

Производная функции есть также функция от x и называется производной первого порядка.

Если функция дифференцируема, то ее производная называется производ-ной второго порядка и обозначается: или . Итак,

.

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается: или . Итак,

.

Производная n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной порядка:

. (16.7.)

Производная порядка выше первого называются производными высших порядков. Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначаются римскими цифрами или числами в скобках, например, или – производная пятого порядка.

Пример 16.10. Найти значение производной 4-го порядка для функции при .

Решение. Находим последовательно

;

;

;

.

Следовательно, . 

Пример 16.11. Найти производную n-го порядка для функции .

Решение. Находим последовательно

;

;

;

;

…………………….

.



Отметим, что в формуле (16.7.) принято , т.е. производная нуле-вого порядка есть сама функция.

Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону . Как известно, производная первого порядка .

Механический смысл производной второго порядка: вторая производная от пути по времени есть величина ускорения прямолинейного движения материальной точки, т.е. .

Пусть функция задана неявно в виде уравнения .

Продифференцировав это уравнение по x и разрешив полученное уравнение отно-сительно , найдем производную первого порядка. Продифференцировав по x первую производную, получим вторую производную от неявной функции. В нее войдут x, y и . Подставляя уже найденное значение в выражение второй производной, выразим через x и y.

Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и выше) порядка.

Пример 16.12. Найти производную второго порядка функции, заданной уравне-нием в точке .

Решение. Находим производную первого порядка:

 .

Используя равенство , дифференцируем обе его части, считая y функцией по x. Получаем

;

.

Отсюда

.

Следовательно, .



Пусть функция задана параметрическими уравнениями

.

Как известно, первая производная находится по формуле .

Найдем вторую производную от функции, заданной параметрически.

Из определения второй производной и равенства (16.6.) следует, что

,

т.е.

. (16.8.)

Эту формулу можно преобразовать и получить следующую формулу

.

Итак,

. (16.9.)

Аналогично получаем

, , и т.д.

Пример 16.13 Найти вторую производную функции

.

Решение. Находим производные и :

;

.

Далее

.

Используя формулу (16.8.), получаем

. 