4 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
При вычислении определенного интеграла важную роль играет правило замены переменной, согласно которому при соблюдении соответствующих условий получаем
.
Обычно функция
монотонна. Она осуществляет взаимно
однозначное соответствие между точками
промежутка
изменения переменной
и точками промежутка
изменения переменной
.
Делая замену по формуле
,
необходимо
заменить на
и вместо старых пределов
и
по переменной
взять им соответствующие новые пределы
и
по переменной
.
Для упрощенного вычисления двойного интеграла также применяется метод подстановки. Но правило замены переменной в двойном интеграле значительно сложнее, чем в определенном интеграле. Приведем только окончательную формулу замены переменных в двойном интеграле и разъясним ее на примере преобразования к полярным координатам.
Определим преобразование независимых переменных и как
и
.
Если функции
и
имеют в некоторой области
плоскости
непрерывные частные производные первого
порядка и отличный от нуля определитель
,
а
функция
непрерывна в области
,
то справедлива формула замены
переменной в двойном интеграле:
.
(1.4)
Сами новые переменные
и
называются криволинейными координатами.
Различные системы криволинейных
координат играют важную роль в математике
и ее приложениях.
Функциональный определитель
называется определителем Якоби
или якобианом (Г. Якоби (1804 –
1851) – немецкий математик).
Рассмотрим частный случай замены
переменных, часто используемый при
вычислении двойного интеграла, а именно
замену декартовых координат
и
полярными координатами
и
.
В качестве переменных
и
возьмем полярные координаты
и
.
Они связаны с декартовыми координатами
формулами
,
.
Правые части в этих равенствах – непрерывно дифференцируемые функции. Якобиан преобразования определяется как
Формула замены переменных (1.4) принимает вид:
,
(1.5)
где область в полярной системе координат, соответствующая области в декартовой системе координат.
пересекает ее границу не более чем в двух точках. Тогда правую часть формулы (1.5) можно записать в виде повторного интеграла
.
(1.6)
Внутренний интеграл берется при
постоянном
.
Формула (1.6) применяется, если полюс
полярной системы координат находится
вне области
.
В отдельных случаях формула (1.6) упрощается.
Пример 1.2. Вычислить
,
если область
круг
.
Решение. Если область
круг или его часть,
то интеграл проще вычислить в полярных
координатах. Вводим замену:
,
.
Тогда
,
.
Область
так же запишем в полярных координатах:
или
.
Поскольку полюс
находится внутри области
,
то
,
,
и
.
Согласно формуле (1.6) имеем
.
5 Приложения двойного интеграла Объем тела
Согласно геометрическому смыслу двойного интеграла, объем цилиндрического тела находится по формуле:
,
где уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.