2. Предел функции при X → ∞. Бесконечно большие функции.

Lim f (x) , x → ∞, = A ↔ AE >0 E Δ>0 : |x| > Δ → | f (x) – A| <E.

Lim f (x) =A, x → +∞ ↔ AE>0 E Δ (E)>0 : x> Δ → | f (x) – A|< E

Lim f (x)=A, x → -∞, ↔ AE >0 E Δ (E) >0: x < - Δ → | f (x) – A| <E.

F (x) называется бесконечно большой при x → x₀, если каково бы нибыло наперед заданное положительное число число Е, которое может быть сколь угодно большим найдется положительное число Δ зависищее от Е , как только

0 <| x – x₀| < δ → | f (x) | > E.

| x | >a → |f (x)|> ↔ , x₀ – δ < x < x₀+ δ, x ≠ x₀

Lim f (x) = +∞, x → x₀ ( f (x) – положительная бесконечно большая) → AE >0 E δ (E)> 0: 0 < | x – x₀|< δ → f (x) > E.

Lim f (x)= - ∞, x → x₀, ( f (x) – отрецательная бесконечна большая) → AE>0 E δ (E)>0: 0<| x – x₀|< δ → f (x) < - E/

3. Бесконечно малые величины. Их свойства.

F (x) называется бесконечно малой, если x → x₀, если lim f (x)=0 или по определению предела

AE>0 δ(E) >0 : 0< |x- x₀|<δ → | f (x) |<E. Рассмотрим свойства бесконечно малых величин:

1.Для того, чтобы f (x) в точке x₀ имела предел А необходимо и достаточно, чтобы f (x) – A=α (x) – бесконечно малая.

Необходимость. Пусть lim f (x) = A, x → x₀, по определению AE >0 E δ(E)>0 : 0<| x – x₀|< δ → | f(x) – A| = |α (x) |<E → α (x) – бесконечно малая.

Достаточность. Пусть выполняется условие:

F (x) – A = α (x) – бесконечно малые. AE> 0 E δ )E)>0 : 0<| x – x₀|< δ → | f(x) – A| = |α (x) |<E → lim f (x) = A, x → x₀.

2.Величина обратная бесконечно малой отличной от нуля, есть величина бесконечно большой, а величина обратная бесконечно большой есть величина бесконечно малая.

Доказательство (для первой части этого свойства). F (x) – бесконечно малая, x → x₀, f (x) ≠0.

Φ (x) = 1/ f (x) - бесконечно большая., x → x₀. По определению бесконечно малых величин:

AE>0 E δ(E)> 0: 0 < |x – x₀| < δ → | f (x)| < E, при чем Е – может быть и даже сколь угодно мал01 величиной. По свойствах абсолютных величин:

| φ (x) |= |1/ f (x)| = 1 / | f(x)|> 1 / E= E, это выполняется для х 0< |x – x₀|< δ. Если Е – мало, то 1 / Е – сколь угодно большое. А это по определению означает: lim φ (x) = ∞, x → x₀, тоесть φ (x) - бесконечно большая величина.

3.Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

Доказательство. Пусть

f (x) – б. м. x → x₀

φ (x) - б. м. x → x_{0 →} g (x) = f (x) + φ (x) – б. м. , когда x → x₀

A E/2> 0 E δ ₁>0 : 0 < |x – x₀| < δ ₁ → |f (x)| < E/2. φ (x) – б. м.

E δ ₂ >0: 0 <|x – x₀| < δ ₂ → | φ (x)| = E/2. Обозначим δ = min { δ ₁, δ ₂}

0 < |x – x₀| < δ →

По свойству абсолютных величин имеем:

|g (x)| = |f (x) + φ (x)| ≤ | f (x) + φ (x)| < E/2 + E/2 = E

|g (x)| < E → g (x) – бесконечно малая.

4.Произведение ограниченной величины на бесконечно малую равно величина бесконечно малая.

Доказательство. Пусть f (x) – б. м. , когда x → x₀, а φ (x) – ограничена в точке х → x₀. По определению ограниченности найдется постоянное число k = const >0 : |φ (x)|≤ k, 0< |x- x₀|<δ.

F (x) – б. м. → A E/k>0, | f(x) | < E/k, 0< |x- x₀|<δ. Тогда по свойству абсолютных величин: 0< |x- x₀|<δ → | f (x) * φ (x)| = f (x) * φ (x) < E/k * k=E, а это означает f (x) * φ (x) → б. м., когда x → x₀.

5.Частная двух функций, в числители которой стоит б. м. величина, а в знаменатели функция имеющая предел, отличный от нуля, есть величина б. м.

Доказательство. Пусть f (x) – б. м., x → x₀, lim φ (x) = A ≠0, x → x₀.

g (x) = f (x) / φ (x) = f (x) * 1/φ (x).

Результат следует из 4 свойства.