Свойства оценок

О.1.2. Оценка ^* параметра  называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру  при любом объеме выборки, то есть:

Если , то оценка ^* называется смещенной.

Замечание

Если равенство не выполняется, то оценка ^*, полученная по разным выборкам, будет в среднем либо завышать значение  ( ), либо занижать его ( ), следовательно, требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании.

Несмещенная оценка ^* не всегда дает хорошее приближение оцениваемого параметра. В частности, возможные значения ^* могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения, то дисперсия D(^*) может быть значительной. Очевидно, что чем меньше дисперсия оценки, тем меньше вероятность грубой ошибки при определении приближенного значения параметра. По этой причине к статистической оценке предъявляется требование эффективности.

О.1.3. Оценка ^* называется эффективной, если при заданном объеме выборки n она имеет наименьшую возможную дисперсию.

При рассмотрении выборок большого объема n к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

О.1.4. Оценка ^* параметра  называется состоятельной, если для любого наперед заданного числа  > 0 вероятность при .

В этом случае говорят, что ^* сходится к  по вероятности.

Из определения 1.4. следует, что если оценка ^* является состоятельной, то при достаточно больших n можно с вероятностью, близкой к 1, утверждать, что оценка ^* отличается от параметра  меньше чем на .

Очевидно, что требованию состоятельности должна удовлетворять всякая оценка, пригодная для практического использования.

Замечание

Если оценка ^* параметра  является несмещенной (то есть M(^*) = ) и при n   ее дисперсия стремится к нулю (то есть D(^*)  0 при n  ), то оценка ^* является и состоятельной.

Вывод: В качестве статистических оценок параметров генеральной совокупности желательно использовать оценки, удовлетворяющие одновременно требованиям несмещенности, эффективности и состоятельности.

Вопрос 2. Оценка генеральной средней по выборочной средней

Пусть в результате независимых наблюдений над количественным признаком Х из генеральной совокупности извлечена выборка объема n со значениями признака x₁, x₂, …, x_n. Пусть генеральная средняя неизвестна и требуется найти ее оценку по данным выборки.

В качестве оценки генеральной средней принимают выборочную среднюю

.

1. Покажем, что - несмещенная оценка, то есть при любом объеме выборки n:

.

Будем рассматривать как СВ и значения как независимые, одинаково распределенные СВ X_i. Так как СВ X_i распределены одинаково, то они имеют одинаковые числовые характеристики. В частности, M(X_i) = a для .

Тогда

(1)

Так как каждая из СВ X_i имеет то же распределение, что и генеральная совокупность, то заключаем, что числовые характеристики этих СВ и генеральной совокупности одинаковы. В частности,

.

Заменив в формуле (1) математическое ожидание а на , получим , следовательно, несмещенность оценки доказана.

2. Покажем, что - состоятельная оценка.

Так как , то допуская, что СВ X_i имеют ограниченные дисперсии, применим к ним теорему Чебышева, в силу которой при n   выборочная средняя стремится по вероятности к математическому ожиданию а каждой из СВ или, что тоже, к генеральной средней (так как ).

Таким образом, при увеличении объема выборки n выборочная средняя стремится по вероятности к генеральной средней , следовательно, состоятельность оценки доказана.

3. Эффективность или неэффективность оценки зависит от вида распределения генеральной совокупности. Можно доказать, что если генеральная совокупность распределена по нормальному закону, то дисперсия D( ) будет минимально возможной, то есть в этом случае оценка является эффективной.

Вывод: Выборочная средняя является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней .