Випадки взаємного розташування двох прямих у просторі демонструються за допомогою стереометричного набору або на каркасній моделі куба.

16)Одностороння границя — це границя функції однієї змінної в деякій точці, коли аргумент прямує до значення аргументу у цій точці окремо зі сторони більших аргументів (правостороння границя), або зі сторони менших аргументів (лівостороння границя). Тобто, по суті, є сенс говорити про односторонні границі функції у деякій точці тоді, коли у цій точці лівостороння границя функції не дорівнює правосторонній.

Правосторонню границю прийнято позначати наступним чином:

Для лівосторонньої границі прийняті такі позначення:

17)Неперервність функції в точці

Нехай функція   визначена на проміжку   і точка   є внутрішньою точкою цього проміжку. Функція   називається неперервною в точці , якщо існує границя функції в цій точці й вона дорівнює значенню функції в точці  . Нехай функція   визначена в усіх точках деякого проміжку  . Візьмемо дві довільні точки з цього проміжку —   і x. Назвемо різницю  приростом аргументу, а число   — приростом функції  у точці  . Можна сформулювати таке означення неперервності функції   в точці  : Функція   називається неперервною в точці  , якщо  . Якщо функція   неперервна в кожній точці проміжку  , то вона називається неперервною на цьому проміжку. 

18) Похідна́ — основне поняття диференційного числення, що характеризує швидкість зміни функції. Визначається як границявідношення приросту функції до приросту її аргументу коли приріст аргументу прямує до нуля (якщо така границя існує). Функцію, що має скінченну похідну, називають диференційовною.

Похідні простих функцій

В більшості випадків для того щоб обчислити похідну потрібно знати похідні певних поширених функцій. Нижче наведено неповний перелік з похідних деяких найуживаніших функцій однієї дійсної змінної.

Піднесення до степеня: Якщо

,

де r — будь-яке дійсне число, тоді

,

для будь-яких випадків коли визначена функція. Наприклад, якщо r = 1/2, тоді

.

тут функція визначена тільки для позитивних x. Якщо r = 0, це правило повторює правило константи.

Експонента та Логарифм:

Тригонометричні функції:

Обернені тригонометричні функції:

У ХIХ ст. в галузі економічної теорії відбулася подія, яка згодом призвело до справжнього перевороту в методах економічної поведінки людей або фірм, змінило характер науково-економічного мислення. Класична наука звичайно мала справу з середніми величинами: середня ціна, середняпродуктивність праці і т.д. Але поступово склався інший підхід до аналізу економічних процесів і явищ. У другій половині ХІХ ст. була сформульована теорія маржиналізму. Класиками цієї теорії стали економісти австрійської школи К. Менгер (1840-1921), Ф. фон Візер (1851-1926), Є. фон Бем-Баверк (1851-1914), а також англійський економіст У.С. Джевонс (1835-1882).  "Marginal" у перекладі з англійської мови означає "що знаходиться на самому краю", "граничний", "граничний". До граничним величинам в економіці відносяться: граничні витрати, граничний дохід, гранична корисність, гранична продуктивність, гранична схильність до споживання і т.д. Поняттяграничних величин дозволило створити абсолютно новий інструмент дослідження і опису економічних явищ, за допомогою якого стало можливо вирішувати наукові проблеми, раніше не вирішені або вирішені незадовільно. Всі ці величини найтіснішим чином пов'язані з поняттям похідної.Граничні величини характеризують не стан (як сумарна чи середня величини), а процес, зміна економічного об'єкта. Отже, похідна виступає як швидкість зміни деякого економічного об'єкта (процесу) з плином часу або щодо іншого досліджуваного фактора.  Звичайно, економіка не завжди дозволяє використовувати граничні величини в силу неподільності багатьох економічних розрахунків, а також переривчастості (дискретності) економічних показників в часі (наприклад, річних, квартальних, місячних і т.д.). У той же час у багатьох випадках можна ефективно використовувати граничні величини.  Розглянемо ситуацію: нехай q - кількість виробленої продукції, ТC (q) - відповідні даному випуску сукупні витрати (total costs), тоді D q - приріст продукції, а D ТС - приріст витрат виробництва.  Граничні витрати МС (marginal costs) виражають додаткові витрати на виробництво кожної додаткової одиниці продукції. Іншими словами,  де   Використовуючи рівність   отримаємо  Отже, граничні витрати є не що інше, як перша похідна від сукупних витрат, якщо останні представлені як функція від випускається кількості продукції.  Аналогічним чином визначаються і багато інші економічні величини, що мають граничний характер.  Гранична виручка MR (marginal revenue) - це додатковий дохід, отриманий при переході від виробництва n-ної до (n +1)-ої одиниці продукту. Вона являє собою першу похідну від виручки:   .

19)ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ.

Нехай задано множину D упорядкованих пар чисел ( , ) x y . Якщо кожній парі чисел ( , ) x y D∈ за певним законом відповідає число z, то кажуть, що на множині D визначено функцію z від двох змінних x та y , і записують її z f x y = ( , ). Змінну z називають залежною змінною (функцією), а змінні x та y – не залежними змінними (аргументами).

Наведемо такі приклади:

а) площу S прямокутника із сторонами a та b знаходять за формулою S ab = . Кожній парі значень a і b відповідає єдине значення площі, тобто S функція двох змінних: S f a b = ( , );

б) за законом Ома електрорушійна сила E , сила струму I та опір R замкнутого електричного кола пов’язані співвідношенням E = IR . Тут E є функцією змінних I та R : E = f I R ( , ) . Змінна величина u називається функцією n незалежних змінних

20. В математиці, часткова похідна (частинна похідна) функції кількох змінних — це похідна по одній із змінних, причому інші змінні приймаються як константи. Часткові похідні використовуються у векторному численні та диференційній геометрії.

Часткова похідна функції f за змінною x записується так: f_x або ∂f/∂x. Символ часткової похідної ∂ — це заокруглена форма літери d, що використовувалась для запису повної похідної. Позначення було запропоноване Лежандром і стало використовуватись після його представлення в працях Якобі.

Застосування частинних похідних в економіці.

Диференційовна функція z = f(x, у) — це функція, повний приріст якоїможна подати у вигляді = Ах + Ву + х + у, де А , В — чис­ла, , — нескінченно малі при, а 0.

Повний приріст — це різниця f(x0 + х, у0 + у) - f(x0, y0), де х, у — прирости, що надаються точці (х0, у0) так, щоб точка (х0 + х, у0 + у) не виходила за межі околу точки (х0, у0).

Повний диференціал — це головна лінійна частина приросту функції, тобто Aх + Bу.

Повний диференціал функції двох змінних z = f(x, у) обчислюється за формулою

Похідна за напрямом характеризує швидкість змінювання функції z = f (x; y). У точці Po(x0;y0)за напрямом = (cos , cos ) і обчислюється за формулою

Градієнт — це вектор з координатами, який характеризує напрям максимального зростання функції z - f(x,y) у точці Р0 (х0, у0):

21) 1Необхідною умовою екстремуму є рівність нулю приватних похідних функції по x та по y. Точка M0 (x0, y0), в якій в нуль звертаються обидві приватні похідні, називається стаціонарною точкою функції z = f (x, y).

2

Зауваження. Приватні похідні функції z = f (x, y) можуть не існувати в точці екстремуму, тому точками можливого екстремуму є не тільки стаціонарні точки, але й точки, в яких приватні похідні не існують (їм відповідають вістря поверхні - графіка функції).

3

Тепер можна перейти до достатніх умов наявності екстремуму. Якщо дифференцируемая функція має екстремум, то він може бути тільки в стаціонарній точці. Достатні умови екстремуму формулюються таким чином: нехай у деякій околиці стаціонарної точки (x0, y0) функція f (x, y) має безперервні приватні похідні другого порядку. Наприклад: (див. рис.2)

4

Тоді: а) якщо Q>0, то в точці (x0, y0) функція має екстремум, причому при f'' (x0, y0) 0) - локальний мінімум; б ) якщо Q

5

Для відшукання екстремуму функції двох змінних можна запропонувати наступну схему: спочатку знаходяться стаціонарні точки функції. Потім у цих точках перевіряються достатні умови екстремуму. Якщо функція в якихось точках не має приватних похідних, то в цих точках теж може бути екстремум, але достатні умови вже не будуть застосовуватися.

6

Приклад. Знайти екстремуми функції z = x ^ 3 + y ^ 3-xy. Рішення. Знайдемо стаціонарні точки функції (див. рис. 3):

7

Рішення останньої системи дає стаціонарні точки (0, 0) і (1/3, 1/3). Тепер необхідно перевірити виконання достатньої умови екстремуму. Знайдіть другі похідні, а також стаціонарні точки Q (0,0) і Q (1/3, 1/3) (див. рис 4):

8

Так як Q (0, 0) 0, отже, в точці (1/3, 1/3) екстремум є. З урахуванням того, що друга похідна (по xx) в (1/3, 1/3) більше нуля, необхідно прийняти рішення, що ця точка є мінімумом.

Необхідна умова досягнення дифференцируемой функцією  экстремума  в крапці   геометрично виражається в тім, що дотична площина до поверхні - графікові функції  у відповідній її крапці паралельна площини незалежних змінних.

Тепер визначимо достатні умови для экстремума функції двох змінних. Так само як і для функції одна змінної, необхідний ознака экстремума у випадку багатьох змінних не є достатнім. Це значить, що з рівності нулю часток похідних у даній крапці зовсім не треба, що ця крапка обов'язково є крапкою экстремума. Візьмемо функцію   Її частки похідні   дорівнюють нулю на початку координат,

однак функція экстремума  не досягає. Справді, функція  , будучи рівної нулю на початку координат, має в будь-якій близькості до початку координат як позитивні  значення (у перших і третьому координатних кутах), так і негативні (у других і четвертому координатних кутах), і виходить, нуль не є ні найбільшим, ні найменшим значенням цієї функції.

       Достатні умови экстремума для функції декількох змінних носять значно більше складний характер, чим для функції однієї змінної. Ми розглянемо ці умови без доказу тільки для функції двох змінних.

22)Умовні Экстремумы

 Нехай задана функція   й лінія L на площині 0xy. Завдання полягає в тім, щоб на лінії L знайти таку крапку P(x, y), у якій значення функції  є найбільшим або найменшим у порівнянні зі значеннями цієї функції в крапках лінії L, що перебувають поблизу крапки P. Такі крапки P називаються крапками умовного экстремума функції   на лінії L. На відміну від звичайної крапки экстремума значення функції в крапці умовного экстремума рівняється зі значеннями функції не у всіх крапках деякої її околиці, а тільки в тих, які лежать на лінії L.

       Зовсім ясно, що крапка звичайного экстремума (говорять також безумовного экстремума) є й крапкою умовного экстремума для будь-якої лінії, що  проходить через цю крапку. Зворотне ж, зрозуміло, невірно: крапка умовного экстремума може й не бути крапкою звичайного экстремума. Поясню сказане звичайним прикладом. Графіком функції 

23) Функція   зветься первісною функції   на деякому інтервалі дійсних чисел, якщо   — похідна функції   на цьому інтервалі, тобто в усіх внутрішніх точках інтервалу виконується рівність

Можна довести, що у будь-якої неперервної на інтервалі функції   існує первісна, яка також є неперервною функцією на цьому інтервалі.

Якщо   — будь-яка первісна функція   то  , де C - довільна стала, — також первісна цієї функції і "невизначений інтеграл функції  " посилається до множини   яка складається з усіх первісних функції   де   — довільна константа.