2 Коллоквиум

№ 6. Поле вблизи поверхности Земли, ускорение свободного падения, напряженность и потенциал гравитационного поля Земли.

Поле вблизи поверхности Земли Для тел, находящихся на высоте h, запишем:

, где - радиус Земли, - гравитационная постоянная.

Тогда для высоты полета самолета , и , имеем

С этой точностью можно считать, что F=const в близи поверхности Земли.

. - ускорение силы тяжести к поверхности Земли. В таком приближении рассмотрено много задач, связанных с силой тяжести.

Н апряжённость гравитацио́нного по́ля — векторная величина, характеризующая гравитационное поле в данной точке и численно равная отношению силы тяготения, действующей на тело, помещённое в данную точку поля, к гравитационной массе этого тела:

Если источником гравитационного поля является некое гравитирующее тело, то согласно закону всемирного тяготения:

 где:  — гравитационная постоянная;  — гравитационная масса тела-источника поля;  — расстояние от исследуемой точки пространства до центра масс тела-источника поля.

Применяя второй закон Ньютона и принцип эквивалентности гравитационной и инерционной масс:

То есть напряжённость гравитационного поля численно

равна ускорению свободного падения в этом поле.

Гравитацио́нный потенциа́л — скалярная функция координат и времени, характеризующая гравитационное поле в классической механике. Имеет размерность квадрата скорости, обычно обозначается буквой  . Гравитационный потенциал равен отношению потенциальной энергии материальной точки, помещённой в рассматриваемую точку гравитационного поля, к массе этой точки.

Г равитационный потенциал точечной частицы равен: , где   — гравитационная постоянная  — масса частицы,   — расстояние от частицы.

№ 7. Напряженность поля шарового тела.

Напряженность гравитационного поля внутри и вне шара радиуса R, заполненного веществом с постоянной объемной плотностью.

Определим напряженность (g) гравитационного поля вне шара.

Е сли , то . - с увеличением расстояния от центра шара напряженность убывает, и создается массой всего шара радиуса R.

Напряженность внутри шара.

- напряженность внутри шара возрастает и создается только

веществом шара, заключенным в сфере радиуса r1. То есть,

на гравитационное поле не влияет вещество, расположенное

вне вспомогательной сферы.

№ 8. Гравитационная энергия шарового тела.

Пусть имеется шар радиусом R и массой М. С взаимодействием частиц шара друг с другом связана энергия гравитационного поля, называемая гравитационной. Она численно равна работе, которую необходимо затратить, чтобы вещество шара, рассеять по всему бесконечному пространству. Конечно, при этом

н еобходимо принять во внимание лишь работу на преодоление сил гравитационного притяжения и не рассматривать, например, электромагнитные силы, которые удерживают атомы в молекулах, молекулы в твердых и жидких телах и т. д. Для упрощения расчетов будем считать, что масса тела распределена равномерно в шаре с плотностью В слое толщиной dr на расстоянии r от центра шара содержится масса При удалении этого слоя на него действует лишь масса шара радиусом r , заключенная в полости, ограниченной шаровым слоем. Работа удаления равна потенциальной энергии этого шарового слоя в гравитационном поле, созданном всеми внутренними слоями:

Интегрируя это выражение по всему объему шара, т. е.

о т r = 0 до r = R , получим полную гравитационную энергию шара:

Это есть энергия гравитационного поля, связанная с

гравитационным притяжением составляющих шар элементов массы.

№ 9. Столкновения, законы сохранения. Упругое столкновение. Векторная диаграмма.

Столкновение частиц – результат их взаимодействия.

Выделяют три вида столкновения частиц: абсолютно неупругое, абсолютно упругое и неупругое.

В результате абсолютно упругого столкновения внутренняя энергия частиц не меняется, а поэтому не меняется и кинетическая энергия системы. Рассмотрим два частных случая: центральное и нецентральное упругие столкновения. 1. При центральном столкновении обе частицы до и после столкновения движутся по одной и той же прямой, так как у обеих частиц скорости направлены вдоль прямой, соединяющей их центры .

  2. Нецентральное столкновение возникает, когда при столкновении скорость хотя бы одной из частиц не лежит на прямой, соединяющей их центры масс. Ограничимся случаем, когда одна из частиц покоится до столкновения. Однако направление разлета частиц теперь будет иным. Оно будет составлять с первоначальным направлением движения некоторый угол   зависящий от закона взаимодействия частиц и их взаимного расположения в процессе столкновения.

Закона сохранения импульса: .

№ 10. Лобовое столкновение и неупругое столкновение.

 В результате абсолютно неупругого столкновения обе частицы "слипаются" и далее движутся как единое целое. Пусть две частицы, массы которых  и   имеют в K-системе до столкновения скорости  и  . После столкновения образуется частица с массой  , что прямо следует из аддитивности массы в ньютоновой механике. Скорость  образовавшейся частицы можно найти сразу из закона сохранения импульса: 

. Ясно, что скорость   равна скорости центра масс системы.

Абсолютно неупругим ударом называют такое ударное взаимодействие, при котором тела соединяются (слипаются) друг с другом и движутся дальше как одно тело.При абсолютно неупругом ударе механическая энергия не сохраняется.Абсолютно упругим ударом называется столкновение, при котором сохраняется механическая энергия системы тел.

№ 11. Движение тел с приближенной переменной массой.

В некоторых случаях тел связано с изменением их массы, например масса ракеты уменьшается вследствие истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п.  Если в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость v, то по истечении времени dt её масса уменьшится на dm и станет равной т-dm, а скорость станет равной v+dv. Изменение импульса системы за промежуток времени dt    где u - скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда    здесь учтено, что dmdv - малое высшего порядка малости по сравнению с остальными слагаемыми. Если на систему действуют внешние силы, то dp=Fdt, поэтому   или  (1)  Второе слагаемое в правой части (1) называют реактивной силой Fp. Если u противоположен v по направлению, то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормозится.  Таким образом, мы получили уравнение движения тела переменной массы  (2)  № 12. Законы Кеплера.

П ервый закон Кеплера . Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

На рис. 1.24.2 показана эллиптическая орбита планеты, масса которой

много меньше массы Солнца. Ближайшая к Солнцу точка P траектории

называется перигелием, точка A, наиболее удаленная от Солнца – афелием.

Расстояние между афелием и перигелием – большая ось эллипса.

Почти все планеты Солнечной системы (кроме Плутона) движутся по

о рбитам, близким к круговым.

Второй закон Кеплера.  Радиус-вектор планеты описывает в равные

промежутки времени равные площади.

Второй закон Кеплера эквивалентен закону сохранения момента импульса.

Третий закон Кеплера. Квадраты периодов обращения планет относятся

как кубы больших полуосей их орбит:

или

№ 13. Движение искусственных спутников Земли.

При выводе первой космической скорости не будем учитывать: Сопротивление воздуха. Притяжение Солнца и планет. Выгодно использовать скорость вращения Земли – запускать спутник в направлении вращения Земли, то есть с Запада на Восток.

Первая космическая скорость – скорость полета по круговой орбите с радиусом, равным радиусу Земли.

Полная энергия спутника в поле Земли:

(1) Считаем, что напряженность поля зависит от расстояния до центра Земли:

- движение равномерное.

Вторая космическая скорость – скорость у поверхности

Земли, позволяющая покинуть пределы земного

притяжения.

Минимальная полная энергия, при которой движение становится инфинитно равна 0. Иначе говоря, кинетическая энергия тела равна потенциальной. Из (1) получаем:

. Т.к. имеем .

Третья космическая скорость – скорость тела, находящегося на орбите Земли, которая необходима для того, что бы покинуть пределы Солнечной системы.

Третья космическая скорость зависит от направления. Она минимальна, если направление совпадает с направлением движения по орбите Земли вокруг Солнца.

Из (1) следует:

№ 14. Твердое тело, уравнение движения, момент инерции материальной точки. Работа вращательного движения.

Твердое тело – идеализированная система материальных точек, все расстояния между которыми при движении системы не изменяются с течением времени.

Число степеней свободы – число независимых координат, необходимых для описания местоположения тела.

Поступательные степени свободы (трансляционные): i=3. Вращательные степени свободы: Одноатомная частица i=0. Двухатомная частица i=2. Трехатомная частица i=3.

Пять видов движения твердых тел.

1. Поступательное движение – движение, при котором любая прямая, связанная с телом, всегда остается параллельной своему начальному положению. Скорости всех точек тела в любой момент времени одинаковы. 2. Вращательное движение вокруг неподвижной оси – движение, при котором две точки тела всегда остаются неподвижными. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Все точки твердого тела на этой оси неподвижны. Остальные точки движутся по окружностям в плоскости, перпендикулярным оси вращения с центрами на этой оси.