1.2. Рекуррентные формулы

Установим следующие соотношения, существующие между функциями Бесселя 1-го рода различных порядков:

, (17)

. (18)

Эти формулы проверяются непосредственным дифференцированием рядов для бесселевых функций. Покажем, например, справедливость соотношения (17). С учетом соотношения (15) получаем:

,

В последней сумме k меняется от 1 до . Введем новый индекс суммирования , который будет меняться от 0 до . Тогда будем иметь

,

что и доказывает формулу (17). Справедливость формулы (18) доказывается аналогично.

Отметим два важных частных случая рекуррентных формул. При v = 0 из (17) следует

(19)

Для случая v = 1 формула (18) дает

или . (20)

Установим рекуррентные формулы, связывающие J_v(x), J_ν+1(x) и J_v-1(x). Производя дифференцирование в (17) и (18), получаем:

,

,

,

, (17)′

. (18′)

Складывая и вычитая (17') и (18'), находим рекуррентные формулы

. (21)

С помощью формулы (21) можно вычислять J_ν+1(x), если известны J_v(x) и J_v-1(x):

. (21′)

1.3. Функции полуцелого порядка

Найдем выражения для функций J_1/2(x) и J_-1/2(x):

, (22)

. (23)

Пользуясь свойством гамма-функции , находим

, (24)

где

.

Функции J_1/2(x) и J_-1/2(x) выражаются через элементарные функции:

, (25)

. (26)

Рассмотрим функции J_n+1/2(x), где n — целое число. Из (21') следует:

Применяя последовательно формулу (21'), найдем

. (27)

1.4. Асимптотические порядки цилиндрических функций

Основным свойством цилиндрических функций является их поведение при и (асимптотическое поведение). Можно показать, что любая цилиндрическая функция однозначно определяется своей асимптотикой при , точнее, главным членом асимптотического разложения.

Поэтому любая вещественная цилиндрическая функция при больших х представима в виде

, (28)

где , — некоторые постоянные, О(1/х^3/2) означает члены порядка не ниже 1/х^3/2.

Значения постоянных и определяются с помощью дополнительных исследований, которые дают

.

В п. 1.3 для v= п + 1/2 была получена формула (27), из которой следует, что

. (29)

Асимптотические формулы для функции J_ν(x):

, (30)

где v - любое неотрицательное число (ν≥0). Формула (30) имеет место и при произвольном ν, так что

. (31)

§2. Краевые задачи для уравнения Бесселя

Простейшая краевая задача для уравнения Бесселя на отрезке [0, r₀] связана с задачей о собственных колебаниях круглой мембраны

, , (1)

, , . (2)

Полагая и разделяя переменные, получаем

,

, (3)

, . (4)

Условие периодичности для Ф(φ) дает v = n², где п — целое число. Таким образом, функция R(r) должна определяться из уравнения Бесселя

,

домножим на r

, (5)

при граничном условии

, (6)

и естественном граничном условии ограниченности в точке r=0

. (7)

Полагая

, (8)

,

,

,

, ,

, ,

,

приходим к уравнению

, , (9)

при дополнительных условиях

, (10)

. (11)

Отсюда находим

. (12)

В силу граничного условия имеем:

, (13)

Это трансцендентное уравнение имеет бесчисленное множество вещественных корней , т. е. уравнение (1) имеет бесчисленное множество собственных значений

(14)

которым соответствуют собственные функции

(15)

краевой задачи (5)-(7).

Из способа построения собственных функций видно, что всякое нетривиальное решение рассматриваемой краевой задачи дается формулой (15).

Из общей теории уравнений вида

,

следует ортогональность системы собственных функций

с весом r:

при . (16)

Вычислим норму собственных функций , где . Попутно будет получено условие ортогональности (16). Для этого рассмотрим функцию , где α₂ — произвольный параметр.

Функции R₁(r) и R₂(r) удовлетворяют уравнениям

,

,

причем R₁(r_o) = 0, a R₂(r) уже не удовлетворяет этому граничному условию. Вычитая из первого уравнения второе, предварительно умножив их, соответственно, на R₂(r) и R₁(r), и интегрируя затем по r в пределах от 0 до r₀, будем иметь

,

откуда находим

,

. (17)

Переходя к пределу при и раскрывая неопределенность в правой части, получаем выражение для квадрата нормы:

,

,

или

. (18)

В частности, квадрат нормы функции равен

.

Если положить , то из формулы (17) сразу следует условие (16) ортогональности функций Бесселя.

Отметим, что имеются таблицы нулей функции и соответствующих им значений . Приведем несколько первых значений :

, , , .

С возрастанием номера m нуля разность должна стремиться к π. Это можно проследить даже для нескольких первых значений (например, , , и т.д.) .

В силу общих свойств собственных функций краевых задач имеет место теорема разложимости:

всякая дважды дифференцируемая функция f(r), ограниченная при r = 0 и обращающаяся в нуль при r=r₀, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд

,

где

,

где

.

Вторая краевая задача для уравнения Бесселя:

, ,

,

решается аналогично. Собственные функции и собственные значения также будут выражаться формулами (15) и (14), где под следует понимать корень номера m уравнения

.

Собственные функции задачи ортогональны между собой с весом r и имеют квадрат нормы, равный

.

Аналогично решается и третья краевая задача. В этом случае для определения получается уравнение вида

.