14.Числовые характеристики непрерывных св(мат.Ожидание,дисперсия,среднеквадратическое отклонение,начальные и центральные моменты)

Мат.ожидание непрерывной СВ Х,определ.поформуле:M(x)=интеграл х*f(x)dx

Дисперсия:D(x)=byntuhfk(x-M(x))2F(x)dx

Среднее квадратическое отклонение:Σ(x)=D(x)

Мат ожиданием (МО) (СВ) называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности

Свойства МО: 1 МО постоянной величины равно самой постоянной М(С)=С; 2 Постоянный множитель можно выносить за знак МО: М(СХ)=С*М(Х)

3 МО произведения двух независ. СВ равно произведению их МО: М(XУ)=М(Х)*М(У)

4 МО суммы двух СВ равно сумме МО: М(Х+У)=М(Х)+М(У)

15. Дисперсией (СВ) называют мат. ожидание (МО) квадрата отклонения СВ от ее МО: D(X)=M[X-M(X)]². Свойства дисперсии случайной величины: 1. Дисперсия постоянной величины С равно нулю: D(C)=0; 2.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D(CX)=C²D(X). 3.Дисперсия двух независимых величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X+Y)=D(X)+D(Y) 4.Дисперсия разности двух независимых величин Х и У равна сумме двух дисперсий: D(X-Y)=D(X)+D(Y).

Модой с. в. Х называется её значение, принимаемое с наибольшей вероятностью по сравнению с двумя соседними значениями, обоз-тся через МоХ. Для нсв. МоХ - точка максимума (локального) плотности fx{х).Если мода единств-а, то распределение с. В. Называется унимо дольным в противном случае — полимодалъным .Медианой МеХ н.с.в Х называется такое её значение Хр для которого

P[X<Хр) = P[X>x_p)=1/2

г. е. одинаково вероятно, окажется ли с. в. Х меньше х_р или больше х_{р .}С помощью функции распределения Р{х) равенство можно записать в виде F{МeХ)= 1 - F{МeХ). Отсюда F(MeX)=1/2. Для д. с. в. медиана обычно не определяется.Математическое ожидание и дисперсия являются частными случа­ями следующих более общ понятии - моментов с.в.

Начальным люмгнчмм порядка к св. Х ннзываегся мо.к-н сте­пени этой величины. «Обозначается ак

Таким образом, по опред ак= М(Хк). Для д. с в. начальный момент выражается суммой:

Центральным моментом порядка к с. в. X называется м.о. вели­чины {X – MX , обозначается через μ_k.

Таким образом, по определению μ_k, = М{X - МХ)*к.

В частности, μ₂ = DX, т.е. нейтральный момент 2-го порядка есть дисперсия; μ₁ = М{Х - MX)= 0. Для д. с в.:

а для и.с. и.:

Центральные моменты могут быть выражены через начальные моменты..Коэффициентом асимметрии («скошенности») А с. в. X называ-ется величина

Если А > 0, то кривая распределения более полога справа от МоХ .

Если А < 0, то кривая распределения более полога слева от МоХ .

Коэффициентом эксцесса («мтровершиинасти») Все. X назы­вается величина

16. Биноминальный закон распределения дискретной случайной величины. Примеры.

Дискретной (прерывной) величиной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Так как в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, то события X=x₁, X=x₂, …, X=x_nобразуют полную группу; следовательно, сумма вероятностей второй строки таблицы равна единице: p₁+p₂+…+p_n=1.

Пример. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по 1 руб. Найти закон распределения случайной величины X – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение. Напишем возможные значения X:

х₁ =50, х₂ =1, х₃=0.

Вероятности этих возможных значений таковы:

p₁ =0,01, p₂=0,1, p₃=1-( p₁+ p₂)0,89.

Контроль: 0,01+0,1+0,89=1.

Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для этого в прямоугольной системе координат строят точки (х₁, p₁), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Для того, чтобы найти закон распределения величины Х, надо определить возможные значения Х и их вероятности.

Очевидно, событие А в n испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, …, либо n раз. Таким образом, возможные значения Х таковы:

х₁ =0, х₂ =1, х₃=2, … х_n+1 =n.

Остается найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли:

, где k=0, 1, 2, …, n. (*)

Данная формула является аналитическим выражением искомого закона распределения.

Закон назван биноминальным потому, что правую часть равенства (*) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона

.

Таким образом, первый член разложения pⁿ определяет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях; второй член np^n-1q определяет вероятность наступления события n-1 раз; …; последний член qⁿопределяет вероятность того, что событие не повится ни разу.

Пример. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины X – числа выпадений герба.

Решение. Вероятность появления герба в каждом бросании монеты , следовательно, вероятность непоявления герба .

При двух бросаниях монеты герб может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения X таковы:

Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:

.

.

.

Напишем искомый закон распределения:

X	2	1	0
p	0,25	0,5	0,25

Контроль: 0,25+0,5+0,25=1.