5. Зависимые и независимые события. Условная вероятность.

События А и В наз независимыми, если вер-ость появления одного из них не зависит от появления другого. В противном случае они наз зависимыми. Вероятность соб В, вычисленного в предположении, что соб А наступило, наз условной вер-остью соб В ( ).

6. Теорема умножения вероятностей зависимых и независимых событий.

Произведение соб А и В наз событие А*В, сост в совместном появлении этих событий. Теорема: Вероятность совместного появления 2ух зависимых событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вер-ость другого, вычисленного в предположении, что первое соб наступило. p(AB)= . Частный случай: Если соб А и В независимы, то и следовательно p(AB)=p(A)*p(B).

7. Формула полной вероятности.

Соб В может наступить с одним из несовместных соб , кот образуют полную систему событий. Тогда выполняется формула: p(B) = .

8. Формула Байеса.

Пусть соб В может наступить вместе с одним из несовместных соб , кот образуют полную систему событий, определим как изм-е вероятности гипотез при условии, что соб В произошло . По Теореме умножения вер-тей соб имеют p( = . Из последующего рав-ва получаем: . Применив ф-лу полной вер-ти получим ф-лу Байеса: .

9. Понятие случайной величины (св). Закон распределения дискретной случайной величины (дсв).

Величина, кот принимает знач-я от случайных обстоятельств, наз случайной. Обознач-ся буквами X, Y, Z и тд, а знач-я кот они принимают: x, y, z и тд. СВ наз дискретной, если она принимает отдельные изолированные знач-я с определенными вероятностями. Число знач-ий СВ м/б конечным или счетным. СВ, кот принимает знач-я некоторого промежутка конечного или бесконечного наз непрерывной. Множество знач-ий ДСВ и соответствующие их вероятности наз законом распределения ДСВ. З-н распределения ДСВ м/б задан:

1) в виде таблицы распределения, т.к событие X=x_i , i= единств. возможно и попарно несовм., то они образуют полную систему событий и выполн. нерав-во: p₁+p₂+…+p_n=1. 2) графически в виде многоугольника распределения вер-остей, вершины кот явл-ся ( ), . 3) аналитически в виде функции распределения

10. Функция распределения (фр) и ее св-ва.

Ф-ей распределения СВ наз вероятность соб X<x (xϵR) и обозначается через F(x)=p(X<x). Св-ва ФР:1) F(x) – вероятность, => 0≤ F(x)≤1, "xϵR; 2) ФР неубывающая, те для всех а<b, F(b)≥F(a); 3) ; 4) ФР непрерывна слева .

11. Плотность распределения и ее св-ва.

СВ наз непрерывной, если ее ФР непрерывно дифференцируема. Теорема: Если X непрерывная СВ, то вер-ость того, что X=x равна 0 (p(X=x)=0). Следствие1. p(a≤X<b)=p(a<X<b)= =p(a≤X≤b)=p(a<X≤b). Cледствие2. Из теоремы следует, что для непрерывной СВ нет смысла рассматривать событие, состоящее в том, что она принимает определенные значения, а есть смысл рассматривать событие, состоящее в том, что она принимает значения из некоторого промежутка. Если существует предел средней плотности распределения вероятности при ∆x→0, то этот предел наз плотностью распределения СВ X в точке f и обозначается через f(x)= . Плотность распределения равна производной ФР: f(x)=F′(x). Cв-ва плотности распределения: 1) плотность распределения неотрицательна f(x)≥0; 2) p(a<X<b)= , Следствие: F(x)= ;

3) – вероятность достоверного события =1.