Теорема Гаусса. Теорема Ампера о циркуляции.
(Магнитный поток. Теорема Гаусса для вектора индукции магнитного поля. Отсутствие в природе магнитных зарядов. Теорема Ампера о циркуляции вектора индукции магнитного поля в вакууме. Работа при перемещении проводника и контура с током в магнитном поле.)
Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса в магнитостатике.
Потоком вектора
через
какую-либо поверхность S
называется интеграл:
,
где
-
проекция вектора
на нормаль к поверхности S
в данной точке (рис.10.1).
Рис.10.1. К определению потока вектора магнитной индукции.
Прежде чем сформулировать теорему Гаусса в магнитостатике, вспомним, что в электростатике аналогичная теорема формулировалась как:
,
где интеграл берется по замкнутой
поверхности S, окружающей
электрические заряды (qs
– алгебраическая сумма зарядов,
заключенных под этой поверхностью);
-
вектор электрической индукции ( в
вакууме
).
Казалось бы, что в полной аналогии с электростатикой мы могли бы написать:
,
подразумевая под
алгебраическую сумму неких «магнитных
зарядов», охваченных замкнутой
поверхностью S, и
являющихся источниками магнитных полей
с результирующей индукцией
(в вакууме).
Но, как оказалось, в природе нет магнитных зарядов, подобных электрическим, а источниками магнитных полей являются движущиеся заряды, то есть электрические токи. Следует, однако, заметить, что законы классической электродинамики допускают существование частиц с одним магнитным полюсом – магнитных монополей. В квантовой механике магнитный монополь – это стабильная частица, несущая положительный или отрицательный магнитный заряд, величина которого значительно превосходит величину элементарного электрического заряда. Впервые гипотезу о существовании магнитного монополя высказал в 1931г. один из основателей квантовой механики Поль Дирак (Dirac P., 1902-1984), поэтому эту частицу называют также монополем Дирака. Тщательные поиски монополя Дирака не увенчались успехом, поэтому вопрос о их существовании остается пока открытым.
Полагая, таким образом, что
,
приходим к следующей формулировке
теоремы Гаусса в
магнитостатике:
.
Равенство нулю потока магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность означает, что силовые линии магнитного поля нигде не обрываются и, следовательно, являются замкнутыми (рис.10.2).
Рис.10.2. К формулировке теоремы Гаусса в магнитостатике.
Поля, силовые линии которых замкнуты, называются вихревыми или соленоидальными.
3.11. Теорема о циркуляции магнитного поля. Магнитное напряжение.
Циркуляцией магнитного поля
вдоль замкнутого контура l
называется интеграл:
,
где
- проекция вектора
на
направление касательной к линии контура
в данной точке.
Соответствующий интеграл для электрического поля в электростатике, как мы знаем, равен нулю, что отражает свойство потенциальности электростатического поля:
.
Магнитное поле не является потенциальным, оно, как было показано выше, является соленоидальным. Поэтому следует ожидать, что циркуляция магнитного поля вдоль замкнутого контура в общем случае отлична от нуля. Чтобы найти ее величину, выполним сначала некоторые вспомогательные действия.
Как известно, интеграл, взятый между двумя любыми точками 1 и 2 в электрическом поле, есть электрическое напряжение между этими точками:
.
По аналогии мы можем ввести понятие «магнитного напряжения», определив его как:
.
Вычислим магнитное напряжение между двумя точками 1 и 2, взятыми на силовой линии магнитного поля прямолинейного проводника с током (рис.10.3).
Рис.10.3. К вычислению магнитного напряжения проводника с током.
Напряженность магнитного поля на расстоянии r от оси проводника определяется по формуле:
.
Тогда:
,
где
- длина дуги окружности, вдоль которой
производится интегрирование.
При обходе по всей силовой линии
(окружности) угол
и, следовательно:
.
Мы видим, что при обходе по замкнутому контуру, охватывающему проводник с током, циркуляция магнитного поля оказывается отличной от нуля и численно равной силе тока, текущего в проводнике; также она не зависит от формы и размеров выбранного контура.
Если контур, охватывающий проводник, не является плоским, то при перемещении вдоль контура радиальный отрезок, соединяющий проводник с текущей точкой контура, будет не только поворачиваться вокруг проводника, но и перемещаться вдоль него. Однако суммарный угол поворота проекции этого отрезка на плоскость, перпендикулярную току, все равно будет равен 2π, то есть результат останется тем же.
В том случае, когда контур не охватывает проводник с током, радиальный отрезок при обходе контура будет поворачиваться сначала в одну сторону, а потом в другую. При этом суммарный угол поворота (с учетом знака направления обхода) будет равен нулю.
В общем случае, если контур охватывает несколько проводников с током (рис.10.4),
Рис.10.4. К формулировке теоремы о циркуляции магнитного поля.
то обобщением полученного результата будет написание выражения, составляющего содержание теоремы о циркуляции магнитного поля:
,
где в правой части стоит алгебраическая сумма всех токов, охваченных данным контуром, причем ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода контура правилом правого винта и отрицательным, если ток имеет противоположное направление.