3. Физическое моделирование. Примеры физических моделей
Моделирование ‑ это создание модели проектируемой или исследуемой системы или объекта с целью изучения ее свойств или поведения в тех или иных условиях. Применение моделей обусловлено тем, что эксперименты с реальными системами обычно требуют слишком больших затрат средств и времени.
В науке любой эксперимент, производимый для выявления тех или иных закономерностей изучаемого явления или для проверки правильности и границ применимости найденных теоретическим путём результатов, по существу представляет собою моделирование. В физ. мод. используется при проектировании и сооружении различных объектов для определения на соответствующих моделях тех или иных свойств как объекта в целом, так и отдельных его частей. К физ. мод. прибегают не только по экономическим соображениям, но и потому, что натурные испытания очень трудно или вообще невозможно осуществить, когда слишком велики (малы) размеры натурного объекта или значения других его характеристик (давления, температуры, скорости протекания процесса и т. п.).
В основе физ. мод. лежат теория подобия и анализ размерностей. Необходимыми условиями физ. мод. являются геометрическое подобие (подобие формы) и физическое подобие модели и натуры: в сходственные моменты времени и в сходственных точках пространства значения переменных величин, характеризующих явления для натуры, должны быть пропорциональны значениям тех же величин для модели. Наличие такой пропорциональности позволяет производить пересчёт экспериментальных результатов, получаемых для модели, на натуру путём умножения каждой из определяемых величин на постоянный для всех величин данной размерности множитель - коэффициент подобия.
P×d=const – соотношение подобия
Например, в механике основными величинами считают обычно длину l, время t и массу m. Тогда, поскольку скорость v = l/t, коэффициент подобия скоростей kv = vн/vм (индекс «н» у величин для натуры, «м» - для модели), можно выразить через коэффициенты подобия длин kl = lн/lм и времён kt = tн/tм в виде kv = kl/kt.
4.Теория и соотношения подобия
Теория подобия, учение об условиях подобия разл. объектов (физ. явлений, процессов, аппаратов, систем), отличающихся масштабами, геометрией или физ. природой.Осн. задачи подобия теории: установление критериев подобия разных объектов, изучение их свойств с помощью этих критериев, определение возможности обобщения результатов решения конкретных задач при отсутствии способов нахождения их полных решений. Успехи в развитии подобия теории связаны с именами И. Ньютона, Ж. Фурье, Дж. Рэлея, T. Афанасьевой-Эренфест, M. Рябушинского, P. Бэкингема, П. Бриджмена, M. В. Кирпичева, А. А. Гухмана, Г. К. Дьяконова, Л. И. Седова и др.
Два объекта подобны, если в соответствующие (сходственные) моменты времени в соответствующих точках пространства значения переменных величин, характеризующих состояние одного объекта, пропорциональны значениям соответствующих величин др. объекта. Коэф. пропорциональности соответствующих величин наз. коэффициентами подобия.
Виды подобия. Различают геом., физ., физ.-хим. и мат. подобие. При геом. подобии пропорциональны геом. характеристики соответствующих элементов объектов (напр., длины, высоты или диаметры аппаратов). При физ. подобии в пространстве и времени подобны поля соответствующих физ. параметров двух объектов, напр. при кинематич. подобии-поля скоростей, при динамич. подобии-системы действующих сил или силовых полей (силы инерции, тяжести, вязкости, давления и др.); при мех. или гидромех. подобии, предполагающем наличие геом., кинематич. и динамич. подобия,-упругие системы, потоки жидкостей, газов или их смесей и др.; при подобии тепловых процессов-соответствующие поля т-р и тепловых потоков; при подобии массооб-менных процессов-потоки в-в и поля их концентраций и др.; при подобии хим. процессов - поля концентраций, т-р и др.; при электродинамич. подобии-поля токов, нагрузок, мощностей, электромагн. сил. Для сложных физ. и физ.-хим. процессов, включающих мех., гидромех., тепло- и массо-обменные, а также хим. явления, подобия теория устанавливает условия подобия, напр. процессов трения при движении материальных потоков в трубах, каналах и аппаратах, кинетики физ.-хим. превращений и др. явлений. При мат. подобии рассматриваемые объекты описываются одинаковымиур-ниями, что позволяет говорить, напр., о подобии тепловых и массообменных процессов, и т.п.
Анализ размерностей и нормализация уравнений взаимосвязи физических величин. Осн. метод подобия теории-анализ размерностей физ. величин, характеризующих состояние объекта исследования, и параметров, к-рые определяют это состояние. Под размерностью физ. величины понимают выражение связи между ней и физ. величинами, положенными в основу системы единиц. Анализ размерностей позволяет определять вид таких ур-ний взаимосвязи физ. величин в изучаемых явлениях. Базой анализа размерностей служит требование, согласно к-рому осн. ур-ния, выражающие связь между переменными и параметрами объекта, должны быть справедливы при любом выборе единиц измерения входящих в них величин; значения переменных определяются решением данной системы ур-ний, значения параметров должны быть заданы для решения этой системы. Из этого требования следует, в общем, что все слагаемые - каждого ур-ния должны иметь одинаковые размерности и, в частности, что с помощью операции, наз. нормализацией (преобразованием), м. б. приведены к безразмерному виду.
Нормализацию обычно проводят в два этапа. На первом этапе все переменные преобразуются к безразмерному виду путем выбора соответствующих масштабов так, чтобы диапазоны изменения всех безразмерных переменных были одинаковы (напр., равны 1). При этом масштабныекоэф. переменных включают в состав коэф. соответствующих членов нормализуемого ур-ния. На втором этапе все члены ур-ния делят на один из коэф., что дает возможность сделать каждый член ур-ния безразмерным. Если ур-ние имеет начальные и граничные условия, то и они соотв. преобразуются.
Свойства нормализованных уравнений. Эти ур-ния содержат, как правило, величины двух типов: а) безразмерные зависимые и независимые переменные; б) безразмерные параметры (иногда наз. p-комплексами). Последние включают характерные размеры (масштабы) объекта, а также физ. параметры исходного ур-ния и граничных условий. Объекты, описание Cв-в к-рых сводится к одинаковым безразмерным ур-ниям и граничным условиям, независимо от их физ. природы относятся к одному классу. Очевидно, что геометрически подобные или даже физически идентичные системы нельзя относить к одному классу, если граничные условия для них не будут представлены одинаково (напр., при разл. профилях скоростей потока на входе в идентичные аппараты).
Анализ решения нормализованных уравнений. Важное следствие процедуры нормализации состоит в том, что число критериев подобия в безразмерных ур-ниях и их граничных условиях всегда оказывается меньше числа физ. параметров, входящих в исходные соотношения. С одной стороны, это устанавливает необходимое кол-во критериев подобия разл. объектов, принадлежащих к одному классу, с другой - упрощает до нек-рой степени решение целого ряда сложных задач.
Решения безразмерных ур-ний с соответствующими граничными условиями определяют безразмерные переменные объекта как ф-ции независимых переменных и критериев:
где х, у, z - безразмерные пространств.координаты; т-безразмерная переменная, соответствующая времени; p1-pn-критерии подобия.
Безразмерный вид ф-ции зависит от вида ур-ний и граничных условий и обычно не м. б. записан в общей форме. Однако сам факт существования зависимости (1) приводит к разл. выводам. Напр., при решении задачи оценки нек-рых параметров начальных ур-ний по опытным данным выражение (1) позволяет установить, какими критериями определяется безразмерный комплекс, включающий неизвестный параметр. Далее можно попытаться найти данную связь в виде нек-рой принятой (напр., степенной) функцион. зависимости от остальных критериев. Для этого выполняют необходимый объем экспериментов в разл. условиях (при к-рых изменяются значения критериев) и с помощью выбранной зависимости осуществляют соответствующие расчеты наблюдаемых результатов. Полученное соотношение м. б. использовано уже для анализа целой группы объектов, критерии подобия к-рой отвечают изученной области изменения их значений. Такие исследования часто проводят при решении проблем гидромеханики, тепло- и массообмена и т. п. в химико-технол. процессах.
Метод подобия. На практике не всегда удается записать в явном виде полную систему ур-ний, достаточно точно отражающую св-ва объекта, и определить из нее критерии подобия. Одним из методов, позволяющих в этих условиях получить информацию о количеств.оценке подобия, является основанный на использовании соотношений сил, действующих в объекте, т. наз. метод подобия. Последний предполагает, что два объекта подобны, если выполняется их геом., кинематич. и динамич. подобие, причем для соблюдения этих условий достаточно геом. подобия и равенства соотношений всех сил, существующих для данных объектов.
Метод включает след.операции. 1) В рассматриваемом объекте перечисляют силы, к-рые считают наиб. существенными, в т. ч. все независимые и зависимые силы. Каждую из выбранных сил выражают через физ. параметры объекта на основе физ. представлений и соображений размерности. 2) Безразмерные критерии, характеризующие задачу, определяют как соотношения сил. Число критериев, к-рые можно из них образовать, равно числу независимых сил. 3) Для учета геом. подобия составляют соотношения линейных размеров.
Для распространения этого метода на тепловые и по аналогии также на массообменные (диффузионные) процессы предложен обобщенный метод подобия, в к-ром в рассмотрение введены соотношения разл. общих форм энергии (мех., тепловой, хим. и др.). Метод предполагает, что для подобия двух объектов кроме геом. подобия и равенства соотношений сил необходимо также обеспечить подобие соотношений соответствующих энергий.