Метод векторних діаграм.

В

лінійних колах, під впливом гармонічних джерел, у стаціонарному режимі струми у вітках та напруги на ділянках кола будуть мати синусоїдну форму. У зв’язку з цим аналіз синусоїдного режиму зводиться до визначення амплітуд та початкових фаз струмів та напруг на окремих ділянках кола (бо частота залишається незмінною і рівною частоті джерела).

Рівняння Кірхгофа справедливі для миттєвих значень струмів та напруг. І , наприклад, застосування першого закону Кірхгофа для вузла (рис.) до якого надходять гармонічні струми та з фазовим зсувом , зводиться до додавання синусоїд з різними початковими фазами:

.

Задача знаходження амплітуди та початкової фази по заданим миттєвим значенням вимагає громіздких тригонометричних перетворень. Намагання графічного додавання двох синусоїд зсунутих за фазою теж не спрощує задачі.

Найбільш наочно дослідження процесів в колах з гармонічними струмами здійснюється з застосуванням векторних діаграм.

Р

озглянемо вектор довжина якого дорівнює амплітудному значенню струму , а кут нахилу до осі абсцис дорівнює початковій фазі струму .Нехай такий вектор неперервно обертається проти годинникової стрілки з кутовою швидкістю (рис.). Тоді проекція вектора на вісь ординат дає миттєве значення струму, що змінюється за законом

.

Якщо розглядати декілька векторів , що відповідають гармонічним струмам однієї частоти з різними початковими фазами, то їх відносне розташування на площині - векторна діаграма - залишається незмінним у часі, оскільки усі вони обертаються з однією і тією ж кутовою швидкістю . На рис. показана векторана діаграма для струмів, що сходяться у вузлі показаному на рис..

П

одання гармонічних струмів векторами, що обертаються, особливо зручно у тих випадках, коли виникає необхідність у додаванні декількох струмів однієї частоти або досліджувати фазові співвідношення між ними. Насравді, миттєві значення змінних струмів можна додавати алгебраїчно, адже саме для миттєвих значень справедливі закони Кірхгофа. З іншої сторони ці миттєві значення є проекціями векторів, що обертаються. Оскільки сума проекцій векторів дорівнює проекції результуючого вектора, то можна просто геометрично додавати вектори, що обертаються, а значення струму в будь яку мить часу знаходити за проекцією сумарного вектора. Іншими словами: закони Кірхгофа справедливі для векторів, що відображають струми та напруги у колі.

П

обудуємо векторні діаграми для струму та напруги на ідеальних пасивних елементах електричного кола. Для резистора компонентне рівняння установлює зв’язок між миттєвими значеннями струму та напруги: . Оскільки то , або , де - амплітудне значення напруги . Таким чином на резисторі амплітудне значення напруги перевищує амплітудне значення струму у раз., а напруга та струм співпадають за фазою , оскільки . При побудові векторної діаграми для резистора такі висновки проявляться у тому, що (рис.):

• довжини вектора що відображає напругу перевищує довжину ветора струму у раз;

• напрямки векторів струму та напруги співпадають.

Для конденсатора компонентне рівняння має вигляд . Якщо - , то - , або , де - амплітуда напруги на конденсаторі, а - початкова фаза напруги. Оскільки на конденсаторі амплітуда напруги пропорційна до амплітуди струму , то ці величини формально можна зв’язати законом подібним до закону Ома:

,

де - відіграє роль опору, і називається ємнісним опором конденсатора.

При побудові векторної діаграми для конденсатора (рис.) необхідно брати до уваги:

• довжина вектора напруги перевищує довжину вектора струму у раз;

• вектор напруги повернутий відносно вектора струму на за годинниковою стрілкою, оскільки напруга відстає за фазою від струму на кут .

Зв’язок між струмом та напругою для індуктивної котушки установлюється компонентним рівнянням . . Для гармонічного струму така залежність породжує наступне співвідношення:

,

д

е - амплітуда напруги на конденсаторі (тут - індуктивний опір котушки), а - початкова фаза напруги. Очевидно, що , тобто на індуктивній котушці напруга та струм знаходяться у квадратурі, причому напруга випереджає струм. Таким чином, векторна діаграма (рис.) для індуктивної котушки складається з двох векторів, при побудові яких необхідно дотримуватись наступних правил:

• довжину вектора напруги по відношенню до вектора струму необхідно збільшити у раз;

• вектор напруги по відношенню до вектора струму слід повернути на кут проти годинникової стрілки.

Якщо необхідно знати лише амплітудні значення та фазові співвідношення то векторні діаграми вважаються нерухомими і при їх побудові осі пропускають (рис ).

У разі необхідності визначення миттєвих значень вектори (результуючий вектор) необхідно обертати з кутовою швидкістю і знаходити проекції на відповідним чином орієнтовану вісь.

Приклад. До кола, що складається із послідовно увімкнених резистора та конденсатора , підведена гармонічна напруга . Знайти струм у колі та зсув фаз між вхідною напругою та струмом, якщо: В, опір резистора Ом, ємність конденсатора мФ.

Р

ішення. Схема кола приведена на рис. Оскільки елементи кола з’єднані послідовно, то крізь них проходить однаковий струм , параметри якого та нам слід визначити. Для заданого кола побудуємо векторну діаграму. Оскільки в задачі необхідно визначити амплітуду та установити фазові співвідношення то векторну діаграму не будемо прив’язувати до системи координат. Проведемо горизонтально вектор струму (в задачі він єдиний). Вектор напруги на резисторі за напрямком буде співпадати з вектором струму, а його довжина в раз перевищуватиме довжину вектора струму. Вектор напруги на конденсаторі відстає за фазою від вектора струму на , а його модуль збільшиться в рази. За другим законом Кірхгофа напруга на вході кола дорівнює сумі напруг на пасивних елементах. Отже вектор вхідної напруги дорівнює: . З прямокутного трикутника утвореного векторами напруг знаходимо модуль вектора вхідної напруги та кут зсуву фаз між вхідною напругою та струмом -

,

.

Звідки амплітудне значення струму , та початкова фаза струму

.

Остаточно-

.

Застосування векторних діаграм можна поширити і на опори та провідності. В послідовному електричному колі струм, що тече крізь усі елементи, одинаковий. Якщо амплітудне значення напруги на кожному елементі поділити на амплітуду струму, то отримаємо значення опорів елементів кола. Отже, якщо була побудована векторна діаграма напруг, то після ділення усіх її векторів на амплітуду струму отримаємо подібну векторну діаграму для опорів.

На відміну від векторної діаграми напруг та струмів, вектори, відповідальні за опори, не залежать від часу, і їх не доцільно обертати. Кути зсуву фаз між векторами опорів будуть відповідати кутам зсуву фаз між відповідними напругами (бо фігури, утворені векторами, подібні). Зокрема, в послідовному колі вектори, побудовані для ємнісного та індуктивного опорів , будуть розташовані по відношенню до вектора активного опору під кутами та відповідно.