3. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

В настоящее время большое число работ посвящается модели Леонтьева многоотраслевой экономики. Эта модель хорошо отражает многие существенные особенности современного производства и в то же время сравнительно легко поддается расчету. Во многих странах мира балансовый метод используется для экономического анализа, планирования и прогнозирования.

Основной задачей данной модели является нахождении вектора валового выпуска (X) по известному вектору конечного потребления (Y) и матрице коэффициентов прямых затрат (A), что эквивалентно решению балансового уравнения (в матричной записи): X=A*X+Y (1).Откуда:

X=(E-A)^-1Y.

Матрицу (E-A)^-1 называют матрицей коэффициентов косвенного потребления.

Условием разрешимости балансового уравнения является существование и неотрицательность данной матрицы (под неотрицательностью матрицы понимается неотрицательность каждого ее элемента).

Справедливо соотношение (E-A)^-1=E+A+A²+…. Откуда

X=Y+AY+A²Y+… (2).

Соотношение (2) показывает, что весь валовой выпуск слагается из затрат: 0-го порядка (Y), 1-го порядка (AY), 2-го порядка (A²Y) и т.д.

Можно отметить, что при решении относительно простого балансового уравнения (1) возникает ряд подзадач:

• нахождение произведения матриц;

• вычисление обратной матрицы;

• учет ошибок округления при вычислениях.

Кроме того, собственные векторы и собственные значения матрицы A характеризуют степень сбалансированности торговых отношений.

Таким образом, расчет балансовой модели Леонтьева позволяет не только познакомить студентов с современными экономическими методами, но и рассмотреть некоторые алгоритмы матричной алгебры. Кроме того, студенты знакомятся с экономическим смыслом матрицы A и ее степеней. Описанный выше алгоритм позволяет рассматривать матрицы достаточно большого размера.

Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ).

Цель балансового анализа - ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой - как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями.

Связь между отраслями, как привило, отражается в таблицах межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 г. американским экономистом В. Леонтьевым.

Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутри производственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год).

Введем следующие обозначения:

x_i - общий (валовой) объем продукции i-й отрасли (i = 1,2,...,n);

x_ij - объем продукции i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью в процессе производства (i,j = 1,2,...,n);

y_i - объем конечного продукта i-й отрасли для непроизводственного потребления.

Так как валовой объем продукции любой i-й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями и конечного продукта, то

x_i = (x_i1 + x_i2+ ... + x_in) + y_i , (i = 1,2,...,n).

Эти уравнения (их n штук) называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в эти уравнения, имеют стоимостное выражение.

Введем коэффициенты прямых затрат:

a_ij = x_ij / x_j , (i,j = 1,2,...,n),

показывающие затраты продукции i-й отрасли на производство единицы стоимости j-й отрасли.

Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты a_ij будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е.

x_ij = a_ijx_j , (i,j = 1,2,...,n),

вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной.

Теперь соотношения баланса примут вид:

x_i = (a_i1x₁ + a_i2x₂ + ... + a_inx_n) + y_i , (i = 1,2,...,n),

Обозначим

||

x1

||

||

a11

a12

...

a1n

||

||

y1

||

||

x2

||

||

a21

a22

...

a2n

||

||

y2

||

X

=

||

...

||

,

A

=

||

...

...

...

...

||

,

Y

=

||

...

||

,

||

xn

||

||

a1n

a2n

...

ann

||

||

yn

||

где

X - вектор валового выпуска;

A - матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица);

Y - вектор конечного продукта.

Тогда соотношения баланса можно записать в виде:

X = AX + Y.

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Перепишем матричное уравнение в виде:

(E - A) X = Y.

Если матрица (E - A) невырожденная, т.е. ее определитель не равен нулю, тогда:

X = (E - A)^-1 Y.

Матрица S = (E - A)^-1 называется матрицей полных затрат.

Чтобы выяснить экономический смысл элементов матрицы S = (s_ij), будем задаваться единичными векторами конечного продукта.

Следовательно, каждый элемент s_ij матрицы S есть величина валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли.

В соответствии с экономическим смыслом задачи значения x_i должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях y_i и a_ij.

Матрица А называется продуктивной, если для любого вектора Y существует решение X уравнения (E - A) X = Y. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Один из них говорит о том, что матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы.

Задача

В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период в усл. ден. ед.:

Отрасль		Потребление		Конечный продукт	Валовой выпуск
		Энергетика	Машиностроение
Производство	Энергетика	7	21	72	100
	Машиностроение	12	15	123	150

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроения сохранится на прежнем уровне.

Решение

Имеем

x₁ = 100, x₂ = 150, x₁₁ = 7, x₁₂ = 21, x₂₁ = 12, x₂₂ = 15, y₁ = 72, y₂ = 123.

По формуле a_ij = x_ij / x_j находим коэффициенты прямых затрат: a₁₁ = 0,07; a₁₂ = 0,14; a₂₁ = 0,12; a₂₂ = 0,10.

		||	0,07	0,14	||
A	=	||	0,12	0,1	||

Т.е. матрица прямых затрат имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности:

max {0,17 + 0,12; 0,14 + 0,10} = max {0,19; 0,24} = 0,24 < 1.

Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска X по формуле X = (E - A)^-1 Y.

Напишем матрицу полных затрат S = (E - A)^-1:

		||	0,93	-0,14	||
E - A	=	||	-0,12	0,9	||	.

Так как |E - A| = 0,8202, то

					||	0,9	0,14	||
S	=	| E - A |-1	=	(1 / 0,8202)	||	0,12	0,93	||	.

По условию вектор конечного продукта:

		||	144	||
Y	=	||	123	||	.

Тогда по формуле X = (E - A)^-1 Y получаем вектор валового выпуска:

||

0,9

0,14

||

||

144

||

=

||

179

||

X

=

(1 / 0,8202)

||

0,12

0,93

||

||

123

||

=

||

160,5

||

,

т.е. валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179,0 усл. ед., а в машиностроительной - до 160,5 усл. ед.