4.2._ Самостоятельная работа

Самостоятельная работа предусмотрена программой в общем объеме 52 часов и состоит из выполнения домашних заданий, в том числе, индивидуальных, подготовки к лабораторным работам и к зачету.

6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

6.1. Лабораторные работы

Лабораторная работа №1

1. Докажите, что является метрикой на множестве .

2. Докажите, что является метрикой. Опишите шар радиуса 2 и укажите все его центры.

3. Докажите, что является метрикой на множестве Докажите, что это пространство не является полным. Найдите его пополнение.

Лабораторная работа №2

1. Исследуйте последовательность чисел: Дайте трактовку полученным результатам.

2. Докажите, что а)  б)  в)  являются метриками на множестве многочленов. Являются ли полученные метрические пространства полными?

3. Докажите, что уравнение имеет единственное решение в классе

Лабораторная работа №3

1. Исследуйте сходимость последовательности в пространстве

2. Проверьте, является ли множество ограниченным, замкнутым, открытым в пространстве

Лабораторная работа №4

1. Ортогонализируйте систему функций в пространствах В указанных пространствах для функции найдите элемент наилучшего приближения из подпространства, определенного рассмотренной системой функций. Сравните полученные результаты.

2. Разложите функцию

в ряд Фурье по ортогональному базису, состоящему из полиномов Лежандра. Для полученного разложения напишите равенство Парсеваля.

Лабораторная работа №5

Найдите приближенное решение краевой задачи

методом Ритца.

6.2. Индивидуальное задание

1. Дайте определение нормированных пространств C[a;b] и L¹[a;b]. Найдите расстояние между функциями f(x) и g(x) в этих пространствах.

№ варианта	a	b	f(x)	g(x)
1	1	4
2	1	4
3	1	4
4	1	5
5	1	4
6	2	4
7	1	2
8	-1	-2
9	0	2
10	0	2
11	1	3
12	-1	0
13	-1	1
14	1	3
15	-1	2
16	0	2
17	-3	-5
18	0	1
19	-6	-4
20	-2	2

2. Преобразуйте данное уравнение к виду x=f(x), в котором f(x) является сжимающим отображением. Укажите, в каком полном метрическом пространстве задано f(x). С помощью метода последовательных приближений найдите корень уравнения в этом пространстве. Сравните полученный результат с точным решением уравнения.

№ варианта	Уравнение
1	x2-11x+17=0
2	x2-12x+19=0
3	x2-13x+21=0
4	x2-14x+23=0
5	x2-15x+25=0
6	x2-16x+27=0
7	x2-17x+29=0
8	x2-18x+31=0
9	x2-19x+33=0
10	x2-20x+35=0
11	x2-21x+37=0
12	x2-22x+39=0
13	x2-23x+41=0
14	x2-24x+43=0
15	x2-25x+45=0
16	x2-26x+47=0
17	x2-27x+49=0
18	x2-28x+51=0
19	x2-29x+53=0
20	x2-30x+55=0

3. Преобразуйте данную систему к виду в котором (f(x,y),g(x,y)) является сжимающим отображением. Укажите, в каком полном метрическом пространстве задано это отображение. С помощью метода последовательных приближений найдите решение системы в этом пространстве. Сделайте проверку.

№ варианта	Система
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

4. Докажите, что отображение является линейным оператором. Проверьте, является ли оператор непрерывным.

№ Варианта	Пространство X	Пространство Y	Оператор A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

5. Для интегрального функционала J[y] найдите точки (функции) y(x) подозрительные на экстремум.

№ варианта	Функционал	Граничные условия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20