2. Действительные числа. Определение действительного числа, отношение порядка на множестве действительных чисел и его свойства, точная верхняя (нижняя) грани.

Опр.8. Положительным действительным числом называется последовательность десятичных цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 с одной запятой между ними:

причем слева от запятой стоит конечное число цифр, отличных от 0.

Отрицательным действительным числом называется последовательность (1) со знаком « – » перед ней:

Нулем называется последовательность, состоящая из одних нулей. Обозначается 0.

Числа вида 12,786999… и 12,787 считаются одинаковыми.

Запись a Î R означает, что a – действительное число.

Опр.9. Модулем действительного числа a называется

сам число a, если оно нуль или положительное. Если a

является отрицательным числом (2), то его модулем будет

положительное число (1). Модуль обозначается |a|

Свойства модуля:

О тношение порядка на множестве R. Для двух положитель-ных действительных чисел

у которых до (n+1)-го разряда стоят одинаковые цифры, полагаем a < b тогда и только тогда, когда an+1 < bn+1. Если b – положительное число, а число a – отрицательное или ноль, то всегда a < b. Если a и b – отрицательные числа, то a < b тогда и только тогда, когда |b| < |a|.Запись a < b читается «a меньше b». Эквивалентная запись b > a читается «b больше a».

Свойства отношения порядка:

1. Если a < b, b < c, то a < c.

2. Если a < b, то $ c Î R такое, что a < c < b.

Наряду с отношением «меньше» или «больше» используют отношение a £ b (меньше или равно) или b ³ a (больше или равно).

Свойства отношения порядка для модуля:

Опр.10. Множество A Ì R называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое число b Î R, что a £ b (b £ a) для всех a Î R. Множество A называется ограниченным, если оно ограничено как сверху, так и снизу.

Теорема 1. Множество A Ì R является ограниченным тогда и только тогда, когда $ b > 0 такое, что " a Î A |a| £ b.

Опр.11. Числовой осью называется прямая, на которой

отмечена точка ноль, указано положительное направление и

отрезок единичной длины. Всякому действительному числу

на числовой оси соответствует точка, и наоборот

Опр.12. Число c называется точной верхней (нижней)

гранью множества A, если выполнены следующие условия:

1) a £ c (c £ a) для всех чисел a Î A;

2) для любого числа b < c (c < b) найдётся число a Î A такое, что b < a (a < b).

Точная верхняя (нижняя) грань множества A обозначается sup A (inf A).

Теорема 2. Всякое ограниченное сверху (снизу)

множество A имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

Д оказательство. Проведем для точной верхней грани. Будем считать, что это множество имеет положительные числа

и они ограничены сверху числом

Отсюда имеем, что у всех чисел a слева от какого-то (–k)-го разряда стоят нули. Из всех чисел a возьмём те, у которых в (–k)-м разряде стоит самая большая цифра. Если такое число одно, то оно и будет точной верхней гранью. Если таких чисел несколько, то среди них берём те, у которых в (–k+1)-м разряде стоит самая большая цифра и так далее. В результате построим число, которое будет точной верхней гранью рассматриваемого множества.