2.1.2 Использование векторных диаграмм при описании синусоидальных сигналов

Синусоидальные функции времени или сигналы могут быть представле­ны тригонометрической формой записи, временными диаграммами, вращаю­щимися векторами и комплексными числами.

Тригонометрическая форма записи и временные диаграммы были рассмотрены выше.

Синусоидальная функция времени может изображаться также вращающимся вектором. Векторное изображение синусоидального тока с амплитудой 1_м и его связь с временной диаграммой тока показаны на рисунке 2.5. Длина вращающегося радиуса - вектора равна амплитуде 1м синусоидальной функции времени, угол между вращающимся вектором и осью абсцисс для момента времени t = 0 представляет начальную фазу φ синусоидального сигна­ла. Проекция вращающегося радиуса - вектора на ось ординат определяет мгновенное значение синусоидальной величины. В электротехнике за положи­тельное направление вращения векторов принято направление против хода ча­совых стрелок.

i(ωt)=I_Msin(ωt+p)

π/2 I_M . φ^/

Зπ/2

ωt Рисунок 2.5 С помощью векторов можно представить несколько синусоидальных сигналов, фазовые углы между которыми соответствуют взаимному расположению сиг­налов в начальный (нулевой) момент времени. Такое расположение векторов соответствует установившемуся состоянию сигналов в описываемом устройст­ве или приборе. При этом предполагается, что анализируемое устройство ли­нейно. Под установившимся состоянием понимается состояние сигналов, кото­рое установится в устройстве или приборе спустя достаточно продолжитель­ное время после включения питания устройства. За это время после включения, которое называется временем установления переходных процессов, должны успокоиться все нестационарные процессы, обусловленные включением уст­ройства в произвольный момент времени. Поскольку предполагается линей­ность устройства, можно утверждать, что при завершении переходных процес­сов во всех точках устройства установятся сигналы с частотой, которая равна частоте входного сигнала или возмущения. Возникает лишь вопрос в амплиту­де и фазовой задержке каждого конкретного сигнала относительно возмущаю­щего сигнала.

Применение векторных диаграмм для описания синусоидальных сигна­лов позволяет использовать геометрические приёмы для выполнения расчётов.

Применим векторные диаграммы к простейшим компонентам электри­ческих схем. Пусть возмущающим сигналом будет электрическое напряжение, приложенное к изучаемому компоненту и подчиняющееся выражению:

u(t) = U_M sin cot.

Для резистора между напряжением и током существует известная связь:

u = R-i

То есть, ток связан с напряжением через постоянный коэффициент R. Формула зависимости тока через резистор при заданном напряжении будет выглядеть следующим образом:

i_R (t) = ^^L • sin cot = 1_ш- sin cot

Векторные диаграммы для напряжения на резисторе и тока через него в дан­ном случае будут выглядеть так, как это показано на рисунке 2.6а.

о

IrМ UМ

о

IcМ

_fcЈ

φ=90°

U_М

IlМ

о

_К

U_М

φ= -90°

а б в

Рисунок 2.6 Для конденсатора справедлива следующая зависимость тока от напряже­ния на конденсаторе:

i_c=C

du dt

Подставив в данное выражение заданную функцию напряжения, получим после выполнения дифференцирования:

i_c =(o)-C)-U_M- coso • t = I_CM ■ coso • t.

Из полученного выражения можно сделать два вывода.

Во-первых, при t=0 ток достигает максимального значения и опережает напря­жение на 90°, что показано на рисунке 2.6б.

Во-вторых, в данной формуле появилось произведение а-С, которое характе­ризует связь амплитуды поданного гармонического напряжения U м и ампли­туды тока 1м- Вспомнив закон Ома, удобно ввести понятие реактивного сопро­тивления конденсатора или емкостного сопротивления х_с:

x_C

1

а-С

С ростом частоты гармонического сигнала со =2-ж- / емкостное сопротивление уменьшается, что вызовет при той же амплитуде напряжения рост тока. Используя введённое понятие можно определить зависимость максимального значения тока от гармонического напряжения на конденсаторе при условии ус­тановившегося значения процессов:

м

х_с

Аналогичное соотношение справедливо и для действующих значений тока и напряжения:

и

I = —.

х_с

Для индуктивности справедлива следующая зависимость тока от напря­жения:

i_L = — . [u(t) -dt= — • coso • t = -I_M -cosco-t

о

Из полученного выражения можно сделать два вывода.

Во-первых, при t=0 ток достигает максимально отрицательного значения и от­стаёт от напряжения на 90°, что показано на рисунке 2.6в.

Во-вторых, в данной формуле появилось произведение co-L, которое характе­ризует связь амплитуды поданного гармонического напряжения U м и ампли­туды тока 1м- Удобно ввести понятие реактивного сопротивления катушки ин­дуктивности или индуктивного сопротивления x_L:

x_L = со ■ L . При росте частоты входного сигнала пропорционально растёт реактивное со­противление катушки индуктивности, уменьшается ток в цепи. То есть, поведе­ние индуктивности с частотой противоположно поведению ёмкости. Следова­тельно, на некоторой частоте окажется справедливым равенство:

х_с = x_L

Подставим значения реактивных сопротивлений:

co_n-L= У _n

⁰ / (Ori,

Это равенство позволяет определить так называемую частоту резонанса, кото­рая проявляется в схемах с параллельным или последовательным соединением конденсаторов и катушек индуктивности:

1 . 1

<э₀ = или /₀

Используя введённое понятие индуктивного сопротивления можно определить зависимость максимального значения тока от гармонического напряжения на катушке индуктивности при условии установившегося значения процессов:

^М *L '

Аналогичное соотношение справедливо и для действующих значений тока и напряжения:

I = —.

x_L

В качестве возмущающего сигнала можно было определить ток как функцию времени:

i(t) = I_M sin cot.

Но в конечном итоге были бы получены аналогичные результаты, то есть на­пряжение на конденсаторе отстаёт от тока на 90°, а напряжение на катушке ин­дуктивности опережает ток на 90°.

Используя предложенное выражение для тока и формулы связи тока и напряжения для конденсаторов и катушек индуктивности, попробуйте дока­зать справедливость сказанного и изобразите векторные диаграммы в этом случае.

Описанное поведение напряжений и токов в реактивных элементах согла­суется с известными законами коммутации для конденсаторов и катушек ин­дуктивности. Конденсатор старается при коммутации сохранить неизменным напряжение на своих обкладках, а катушка индуктивности сохраняет неизмен­ным величину тока, который протекал через неё непосредственно до момента

коммутации. В результате напряжение на конденсаторе оказывается отстаю­щим от тока через конденсатор, а напряжение на индуктивности опережает ток через неё.