Системи числення в еом

Двійкова система счислення: Основа q =2, алфавіт – {0, 1}.

Найпоширенішою для подання чисел у пам'яті комп'ютера є двійкова система числення. Для зображення чисел у цій системі необхідно дві цифри: 0 і 1, тобто достатньо двох стійких станів фізичних елементів.

╔═··· Приклад 1. Визначити десяткове число в двійковій системі числення х=19₁₀.

Розв’язування. Кожні дві одиниці поєднуються в 1 десяток, кожні два десятка поєднуються в 1 сотню, дві сотні – в 1 тисячу, і т.д. Тобто 1₂=1₁₀, 10₂=2₁₀, 100₂=4₁₀, 1000₂=8₁₀, 10000₂=16₁₀, …

19₁₀=(16+2+1)₁₀=(10000+10+1)₂=10011₂.

╚═···

Для людини двійкова система, звісно, є громіздкою у використанні. Їй звичною є десяткова система числення, в якій вироблені прийоми запису чисел за «іменем», прийоми додавання, віднімання, множення і ділення будь-яких чисел. У двійковому записі числа важко визначити його значення, оскільки відсутнє поняття «імені» саме двійкового числа, важко зпівставити ланцюжок, особливо при великій його довжині, зі змістом. Виникає потреба перетворити двійковий запис у десятковий і навпаки, що не так то і легко. Але ці операції є необхідними тоді, коли людина змушена за якимись причинами користуватися двійковою системою поза ЕОМ.

╔═··· Приклад 2. Визначити десяткове значення числа, поданого в двійковій системі

числення х =10011011₂.

Розв’язування.

Згідно визначення число в позиційній системі числення можна розкласти у вигляді полінома:

10011011₂=(1·q⁷ + 0·q⁶ +0·q⁵ +1·q⁴ +1·q³ +0·q² +1·q¹ +1·q⁰)₂ =

=1·2⁷ + 0·2⁶ +0·2⁵ +1·2⁴ +1·2³ +0·2² +1·2¹ +1·2⁰ ==2⁷ + 2⁴ +2³ +2¹ +1=

=128+16+8+2+1=155.

╚═···

Не складно помітити, що результат складається з суми степенів основи 2^k, де k – позиції числа, що містять 1 (k=0, 1, …). То ж надалі для простоти переведення двійкового числа в десяткову систему числення будемо використовувати таблицю десяткових значень розрядів двійкового числа, що містять 1:

Табл.1

k	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
2k	4096	2048	1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1

╔═··· Приклад 3. Визначити десяткове значення числа, поданого в двійковій системі числення х=101011010₂.

Розв’язування.

Згідно визначення число в позиційній системі числення можна розкласти у вигляді полінома:

101011010₂ =2+8+16+64+256=26+320=346.

╚═···

Вісімкова система счислення: Основа q =8, алфавіт – {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

В 8-й системі числення не існує цифра 8, 9. Адже 8 одиниць попереднього розряду поєднуємо в одиницю поточного, тобто 8 одиниць поєднуємо в один десяток, 8 десятків в одну сотню, 8 сотень в одну тисячу і т.д. Тоді 8₁₀ = 10₈, 9₁₀ = 11₈.

╔═··· Приклад 4. Визначити десяткове значення числа, поданого в вісімковій системі числення х=357₈.

Розв’язування.

Згідно визначення число в позиційній системі числення можна розкласти у вигляді полінома:

357₈ = ( 3·10² + 5·10¹ +7·10⁰)₈ = ( 3·8² + 5·8¹ +7·8⁰)₁₀ =192 + 40 + 7 = 239

╚═···

Спробуємо переводити десяткові числа в вісімкову систему.

╔═··· Приклад 5. Визначити десяткове число в вісімковій системі числення х=77, х₈-?

Розв’язування.

Кожні 8 одиниць поєднуємо в десятки. З 77-х одиниць утворюється 9 вісімкових десятків і 5 одиниць залишиться. З 9 десятків 8 десятків поєднаємо в одну сотню і 1 десяток залишиться. Одже отримали 1 сотню, 1 десяток і 5 одиниць: 77=115₈.

╚═···

Шістнадцятерична система счислення: Основа q =16, алфавіт – {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}.

В 16-й системі числення звичні для нас десяткові числа 10, 11, 12..15 менші ніж основа q =16, то ж вони повинні бути записані однією цифрою. Щоб не вигадувати додаткові цифри для цього, в міжнародній спільноті з цією метою використовуються перші латинькі літери, тобто: A₁₆=10, B₁₆=11, C₁₆=12, D₁₆=13, E₁₆=14, F₁₆=15.

╔═··· Приклад 6. Визначити десяткове значення числа, поданого в 16-й системі числення х=2ЕА₁₆.

Розв’язування.

Згідно визначення число в позиційній системі числення можна розкласти у вигляді полінома:

2ЕА₁₆ = ( 2·10² + Е·10¹ +А·10⁰)₁₆ = ( 2·16² + 14·16¹ +10·16⁰)₁₀ =512 + 224 + 10 = 746

╚═···

10-а	8-ва	2-ва	16-ва
0	0	0	0
1	1	1	1
2	2	10	2
3	3	11	3
4	4	100	4
5	5	101	5
6	6	110	6
7	7	111	7
8	10	1000	8
9	11	1001	9
10	12	1010	A
11	13	1011	B
12	14	1100	C
13	15	1101	D
14	16	1110	E
15	17	1111	F
16	20	10000	10

Приведемо таблицю значень десяткових чисел від 0 до 16 в розглянутих системах числення.