3. Уравнения Максвелла для гармонических колебаний. ЭнергИя электромагнитного поля
Тема занятия. Методы расчета полей и энергетических характеристик для случая гармонических колебаний. Проводится решение уравнений Максвелла в комплексных амплитудах, рассматривается теорема Пойнтинга.
Любой сложный колебательный процесс с помощью метода интеграла Фурье можно представить в виде набора гармонических колебаний. Для колебаний, изменяющихся во времени по гармоническому закону с частотой ω=2πf, при решении прикладных задач используется метод комплексных амплитуд.
В общем случае вектор поля (например, электрического) записывается в виде:
,
(3.1)
где в круглых скобках представлен вектор комплексной амплитуды Ė. Дифференцируя по времени уравнения (2.2), получаем
(3.2)
Для характеристики диэлектрических сред вводится понятие комплексной диэлектрической проницаемости:
,
(3.3)
где действительная часть характеризует интенсивность поляризационных свойств материала, а мнимая – плотность токов проводимости.
Потери
в диэлектрике за счет токов проводимости
принято характеризовать величиной δ
угла наклона
к действительной оси на комплексной
плоскости или значением
=σ/ωεa.
В диапазоне СВЧ хорошим считается
диэлектрик с
<10-3.
Энергетические соотношения в электромагнитном поле характеризуются теоремой Пойнтинга. Энергия поля, заключенного внутри некоторого объема V, изменяется во времени вследствие:
- превращения части энергии в другие виды энергии, в частности, в тепловую, связанную с протеканием токов проводимости;
- работу сторонних источников, способных как увеличить, так и уменьшить ее запас в заданном объеме V;
- обмена энергией между V и окружающим пространством за счет излучения.
Интенсивность излучения через поверхность S объема V характеризуется величиной, называемой вектором Пойнтинга. Он равен плотности потока энергии излучения и определяется как векторное произведение мгновенных значений полей Е(t) и H(t) в данной точке пространства:
(3.4)
Теорема Пойнтинга определяет баланс энергии области поля внутри области объема V:
.
(3.5)
где 
- мгновенная мощность потерь за счет
проводимости;
-
мгновенная мощность, привносимая
сторонними токами;
-
суммарная
мгновенная мощность электрического и
магнитного полей в объеме V.
В случае гармонических колебаний теорема Пойнтинга в комплексных амплитудах отражает закон сохранения для мощностей, усредненных за период колебания Т.
Действительное (среднее) значение вектора Пойнтинга определяется как:
(3.6)
4. Плоские электромагнитные волны
Тема занятия. Распространение плоской однородной линейно поляризованной ЭМ волны в безграничных средах.
Волновой
процесс – явление переноса энергии
поля в пространстве и во времени. Для
гармонически меняющегося поля
(например,
Е или Н) - описывается уравнением
Гельмгольца:
(4.1)
Частное решение уравнения Гельмгольца для ЭМ поля, изменяющегося во времени по гармоническому закону в неограниченном пространстве
,
(4.2)
где
(4.3)
- комплексная постоянная распространения,
- фазовая
постоянная,
- постоянная затухания.
Знак «минус» в показателе экспоненты указывает, что волна распространяется в положительном направлении оси z (прямая волна), знак «плюс» - в отрицательном (обратная волна).
Плоская волна. С учетом (4.2) и (4.3) общее выражение для мгновенного значения поля прямой плоской ЭМ волны в среде с затуханием:
(4.4)
характеристическим сопротивлением среды.
Аргумент
косинуса, т.е.
,
-фаза волны, функция времени
t
и пространственной координаты z.
Период изменения
во
времени (при t=const):
,
,
сек, где угловая частота
,
и в пространстве (при z=const):
,
1/м.,
где λ – длина волны.
Поверхность,
удовлетворяющую уравнению
,
называют волновым фронтом. В данном
случае это бесконечная плоскость,
перпендикулярная направлению
распространения z
и
перемещающаяся в пространстве со
скоростью
,
называемой фазовой скоростью.
В плоскости фазового фронта, отношение векторов напряженности электрического и магнитного полей есть величина постоянная, называемая характеристическим сопротивлением среды.
(4.5)
В вакууме
,
,
.
Согласно (4.3),
.
м/с,
λ0=С/f,
м.
Фазовая скорость ЭМ волны в вакууме равна скорости света С.
Характеристическое
сопротивление вакуума
Ом
- чисто действительная величина. Это
означает, что гармонические Е
и Н
колеблются в фазе.
В среде с произвольными параметрами
,
λ=Vф/f,
м
Групповая
скорость для узкополосного сигнала
определяется как
.
Плоская
волна переносит энергию в направлении
распространения. Для гармонических
полей процесс характеризуется вектором
Пойнтинга
,
который иногда удобно записывать через
одну из составляющих поля
(4.6)
Через координатные составляющие поле плоской волны определяется как
,
,
где
,
.
Ориентация
вектора 
зависит от соотношения амплитуд и фаз
его координатных составляющих и указывает
поляризацию волны. В общем случае конец
вектора описывает эллиптическую кривую.
При
и сдвиге фаз 900
поляризация
круговая, при синфазном изменении
(наличии одной составляющей) – линейная.
Величина потерь в среде характеризуется постоянной затухания
,
1/м.
(4.7)
В радиотехнике затухание принято выражать в децибелах на единицу длины
,
дБ/м,
(4.8)
связанное
с постоянной затухания α
соотношением
Величина γ в (4.3), где
,
определяется
как
,
и
,
,
(4.9)
В случае
постоянные фазы и затухания с достаточной
степенью точности рассчитываются по
приближенным соотношениям
,
(4.10)