Інженерний варіант аксіом Колмогорова

Довільній події ставиться у відповідність число, що зветься ймовірністю наставання події .

Аксіоми:

1. 

2. 

3. , ,

тоді

може бути , тому що основні результати теорії ймовірностей випливають з граничних теорем, а для доведення граничних теорем оперують з нескінченним об’єднанням чи перетином довільних подій.

Зміст аксіом Колмогорова

Так як для будь-якого частості задовольняють своїм 3 властивостям, то і для необмеженого - ці властивості повинні виконуватись. Якщо він доведе, що його аксіоматичні ймовірності – границя частості події, то цими самими властивостями повинні задовольняти:

Наприклад. де -- обмежене число або

За означенням елементарні події несумісні за третьою аксіомою . Покажемо, що виконуються перша і третя аксіоми Колмогорова.

Розглянемо довільну подію

Таким чином ймовірності аксіоматичні по Колмогорову побудовано. А з теореми великих чисел (Бернуллі):

Примітка! У цьому поясненні не фіксується як розуміється цей ліміт.

У теорії ймовірностей існують 4 види збіжностей:

1. Збіжність з ймовірністю 1;

2. Збіжність по ймовірності;

3. Збіжність у середньоквадратичному;

4. Збіжність по розподілу.

У нашому курсі буде розглянуто 2 та 3 тип збіжностей.

Простір елементарних подій складається з обмежених елементарних подій.

Тоді за прикладом, що наведений вище, мають місце формули:

Всі елементарні події є рівноправними, тобто жодній елементарній події не можна віддати перевагу до випробування (жодне з них не може наставати частіше, ніж інше).

Класичне означення ймовірності:

Ймовірність наставання довільної події дорівнює дробу, де чисельник – кількість подій, що входять в , а -- загальна кількість елементарних подій.

Наприклад. = напівінтервал [0,1). Маємо голку, кінець якої вважатимемо матеріальною точкою. Кидаємо голку в цей інтервал, вона гарантовано попадає в нього. Усі елементарні події – усі різні числа з [0,1). Усі ці числа рівноправні, а значить рівно ймовірні. . Покажемо, що якщо , то

Так як і , то з цього миттєво випливає, що ймовірність будь-якого числа

Самостійно довести, взявши в якості А усі раціональні числа з [0,1).

П одія може настати внаслідок випробування і має ймовірність настання 0. Якщо пів інтервал розділити пополам , то випливає, що ймовірність наставання першої складної події

дорівнює ймовірності наставання другої складної події, і дорівнює .

Якщо – простір елементарних подій є нескінченно злічена множина чисел на числовій осі, то може виникнути ситуація, що кожне число теоретично може настати в результаті випробування, а ймовірність наставання для нього рівна 0. А не 0 має ймовірність наставання складна подія, що є нескінченною, незліченною.

Доведення:

Умовна ймовірність

Умовною ймовірністю наставання події при умові, що при випробуванні настала подія записується так:

Знайдемо цю ймовірність, якщо прості елементарних подій

І

Так як в нашому випробуванні відомо, що настала елементарна подія складу , а всі елементарні події рівноправні за постановкою задачі, то для цього випробування поява кожної елементарної події, що входить у склад дорівнює .

У випробуванні подія настає тоді і тільки тоді, коли настане елементарна подія складу . І за класичною формулою випливає: .

Загальний випадок

У загальному випадку ця формула не виводиться, а тільки обґрунтовується.

Проведемо довільних випробувань і зафіксуємо з них випробувань, в кожному з яких настала подія і випробувань, в кожному з яких настала подія і , і одночасно.

Теорія ймовірностей будується для випадку, коли частість наставання будь-якої події у довільній, необмеженій кількості випробувань, що має одну границю, що зветься її ймовірністю.

Тоді умовна частість наставання події А за умови, що настала :

при чисельник має границю , а знаменник – .

(границя умовної частості)

Узагальнення умовної ймовірності

Ймовірність перетину довільної кількості подій

Розглянемо довільну послідовність подій і нехай:

Тоді має місце формула:

У формулу входить умовна ймовірність. Для того, щоб умовні ймовірності існували треба, щоб всі відповідні знаменники були . Покажемо, що всі знаменники , якщо виконується:

Нехай формула виконується для